МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА
И ПРОДОВОЛЬСТВИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
ГЛАВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ, НАУКИ И КАДРОВ
УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ
«БЕЛОРУССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ
СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ»
Кафедра гидротехнических сооружений и водоснабжения
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ
ХАРАКТЕРИСТИК СЕЧЕНИЯ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ
К РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКой РАБОТе ПО ДИСЦИПЛИНЕ
«МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ»
Для студентов специальностей
1-74 05 01 − Мелиорация и водное хозяйство и
1-74 04 01 – Сельское строительство и обустройство
территорий
Горки 2011
МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА
И ПРОДОВОЛЬСТВИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
ГЛАВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ, НАУКИ И КАДРОВ
УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ
«БЕЛОРУССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ
СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ»
Кафедра гидротехнических сооружений и водоснабжения
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ
ХАРАКТЕРИСТИК СЕЧЕНИЯ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ
К РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКой РАБОТе ПО ДИСЦИПЛИНЕ
«МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ»
Для студентов специальностей
1-74 05 01 − Мелиорация и водное хозяйство и
1-74 04 01 – Сельское строительство и обустройство
территорий
Горки 2011
Одобрено методической комиссией мелиоративно-строительного факультета 27. 04. 2010 (протокол № 8).
Составили: В. В. ДЯТЛОВ, Л. И. МЕЛЬНИКОВА
УДК 539.32:669.14
Определение геометрических характеристик сечения: методические указания и задания / Белорусская государственная сельскохозяйственная академия; сост. , . Горки, 2011. 22 с.
Приведены методические указания по выполнению расчетно-графической работы, примеры выполнения двух задач с различными формами сечений.
Для студентов специальностей 1-74 05 01 – Мелиорация и водное хозяйство и 1-74 04 01 – Сельское строительство и обустройство территорий.
Рисунков 7. Библиогр.7. Приложений 4 .
Рецензенты: М. А. ЖАРСКИЙ, М. В. НЕСТЕРОВ, кандидаты техн. наук, доценты.
© Составление. ,
, 2011
© Учреждение образования
«Белорусская государственная
сельскохозяйственная академия», 2011
У ч е б н о - м е т о д и ч е с к о е и з д а н и е
Владимир Владимирович Дятлов
Людмила Ивановна Мельникова
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СЕЧЕНИЯ
Методические указания и задания к расчетно-графической работе
по дисциплине «Механика материалов»
Толмачёва
Техн. редактор
Павлова
ЛИ № 000от 01.01.2001. Подписано в печать . .2011.
Формат 60 Ч 84 1/16. Бумага для множительных аппаратов.
Печать ризографическая. Гарнитура «Таймс».
Усл. печ. л. 1,39. Уч.-изд. л. 1,23.
Тираж 100 экз. Заказ . Цена 1760 руб.
Редакционно-издательский отдел БГСХА
213407,
Отпечатано в отделе издания учебно-методической литературы,
ризографии и художественно-оформительской деятельности БГСХА
СОДЕРЖАНИЕ
Введение..........................................................................................................................3
1. Геометрические характеристики плоских сечений……………………………….3
2. Условия и порядок выполнения задач…………………………..............................9
3. Приложения………………………………………..….…………………………....16
Литература…………………………………………………..………………………...21
ВВЕДЕНИЕ
Расчеты элементов конструкций на прочность и жесткость при растяжении и кручении позволяют сделать вывод, что площадь поперечного сечения бруса является важной геометрической характеристикой лишь при равномерном распределении напряжений по поперечному сечению. При неравномерном распределении напряжений, когда брус круглого поперечного сечения работает на кручение, его прочность и жесткость зависят от новой более сложной геометрической характеристики – полярного момента инерции.
Кроме того, в случае изгиба бруса площадь сечения не может служить характеристикой его жесткости. Два бруса с равновеликими площадями поперечных сечений (первый расположен горизонтально, а другой вертикально) при одинаковой нагрузке деформируются по-разному (например, при h/b=2 прогибы первого бруса в четыре раза больше, чем второго).
Данные методические указания предназначены для ознакомлению студентов со свойствами и методами вычисления геометрических характеристик плоских сечений, используемых при расчетах на изгиб, на изгиб с растяжением, устойчивость сжатых стержней и в ряде других случаев.
Задание для самостоятельной работы включает две задачи. В каждой из этих задач даны форма сечения, его размеры. Требуется определить:
в первой задаче – положение главных осей инерции, главные моменты инерции и построить эллипс инерции (данные взять из приложений 1 и 2);
во второй задаче – величину наибольших моментов сопротивления относительно центральных осей (данные взять из приложений 3 и 4).
Oформление работы. Работа должна выполняться на листах писчей бумаги формата А-4 и содержать подробные расчеты с необходимыми пояснениями. Решение каждой задачи начинается с новой страницы: записываются условие задачи и исходные данные, вычерчивается в соответствии с вариантом форма сечения. Чертежи выполняются на листах миллиметровой того же формата бумаги аккуратно, с указанием всех размеров, ординат и т. д. Листы задания брошюруются, оформляется титульный лист.
1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ
Определение центра тяжести составного сечения. Вычисление геометрических характеристик связано с необходимостью определения координат центра тяжести сечения. При этом в расчетные зависимости входят геометрические характеристики, называемые статическими моментами сечения.
Cтатическим моментом площади сечения (рис.1) относительно какой-либо оси называется взятая по всей площади А сечения сумма произведений площадей элементарных площадок на их расстояние до взятой оси, т. е.
; 
. (1)
Рис.1. Схема к определению геометрических
характеристик сечения.
Статический момент имеет размерность L3. В зависимости от положения оси, относительно которой вычисляется статический момент, он может быть положительным, отрицательным или равным нулю.
Если известны площадь сечения А и положение его центра тяжести С – координаты хс и ус, то статические моменты определяются по формулам
Sх= усА ; Sу= хсА, (2)
из которых вытекает важное следствие: статический момент сечения относительно любой центральной (проходящей через центр тяжести) оси равен нулю.
Преобразуя зависимости (2), получим формулы для определения координат центра тяжести сечения
; 
. (3)
Для определения общего центра тяжести составного сечения необходимо выбрать вспомогательные координатные оси х и y, относительно которых он и определяется. Эти оси выбираются произвольно, но таким образом, чтобы возможно большее число элементов прилегало к ним, все сечение было в положительной четверти, начало этих oсей совпадало с центром тяжести любой из фигур. Такой выбор произвольных осей позволит значительно упростить подсчеты.
Координаты центра тяжести всего сечения, которое может быть разбито на простейшие составные части, площади и координаты центров тяжести которых известны, определяются по следующим формулам:
(4)
где хсi и усi − расстояния от центров тяжести простейших фигур до соответствующей вспомогательной оси с учетом знака;
Аi – площадь i-й простейшей фигуры составного сечения.
Вычисление моментов инерции сечения относительно выбранных центральных осей. Через найденный центр тяжести проводим центральные оси хс, ус параллельно вспомогательным осям х и y и определяем моменты инерции 
I
и I
и центробежный момент инерции I
.
Моментом инерции сечения относительно какой-либо оси называется взятая по всей площади А сечения сумма произведений площадей элементарных площадок на квадраты их расстояний до взятой оси (см. рис.1), т. е.
; 
. (5)
Моменты инерции относительно осей х и у называются осевыми моментами инерции сечения. Соответственно геометрическая характеристика, которая представляет собой взятую по всей площади А сечения сумму произведений площадей элементарных площадок на произведение их расстояний до двух данных взаимно перпендикулярных осей (см. рис.1), называется центробежным моментом инерции сечения относительно осей х и у:
. (6)
Моменты инерции простых фигур (прямоугольник, круг, треугольник и т. д.) определяются по известным формулам, имеющимся в любом учебнике, а моменты инерции прокатных профилей (швеллер, двутавр, уголки) приведены в таблицах сортамента. Размерность осевых моментов инерции и центробежного – L4.Осевые моменты инерции всегда положительны, а центробежные могут иметь различный знак. Для всех фигур, имеющих хотя бы одну ось симметрии, центробежный момент инерции относительно собственных центральных осей равен нулю.
Так как центральные оси каждой из простых фигур не совпадают с центром тяжести сложной фигуры, для вычисления моментов инерции и центробежного момента инерции необходимо воспользоваться формулами перехода от центральных к параллельным осям:
(7)
где а и b − расстояния между параллельными осями;
I
и I
− осевые моменты инерции относительно собственных центральных осей;
I
− центробежный момент инерции относительно тех же осей.
Для простых фигур, составляющих заданное сечение, − прямоугольника, двутавра и швеллера − центробежный момент инерции относительно собственных центральных осей, как указывалось выше, равен нулю. Для равнополочного и неравнополочного уголков, не имеющих осей симметрии, его нужно вычислять по следующей формуле:
. (8)
Необходимые данные приводятся в таблицах сортамента.
Центробежный момент инерции можно вычислять и по другим формулам:
− неравнополочный уголок,
− равнополочный уголок.
Правило знаков для определения центробежного момента инерции уголков: положительное значение I
имеет в том случае, когда главная ось V1(min) повернута по отношению к оси уо на угол а по ходу часовой стрелки (рис. 2, а), и отрицательное значение, − когда против часовой стрелки (рис. 2, б). C другой стороны, если визуально можно определить, что большая часть площади сечения по отношению к центральным осям расположена в положительных квадрантах, I
– положительный, и наоборот.
Рис. 2. Схема к определению знаков
центробежного момента инерции уголков.
Определение положения главных осей и величины главных моментов инерции. Главными центральными осями инерции называются оси, относительно которых осевые моменты инерции принимают экстремальные значения, а центробежный момент инерции равен нулю. Положение этих осей определяется из условия равенства нулю центробежного момента относительно повернутых осей:
или 
,
где Ix, Iy − осевые моменты инерции относительно центральных осей составного сечения;
Ixу – центробежный момент инерции относительно этих же осей:
Imin – минимальный главный центральный момент инерции.
Проводим главные оси U и V, причем при положительном значении угла а ось U откладывается от оси х против хода часовой стрелки, при отрицательном угле a − по ходу часовой стрелки.
Иначе положение главной центральной оси U можно определить из двух условий:
1) при Ixу< 0 главная ось U (max) проходит через квадранты I и III, а при Ixу > 0 – через II и IV;
2) если значение Ix > Iy, то главная ось U (max) откладывается под углом б от горизонтальной оси x. При Ix< Iy ось U (max) откладывается под углом б от вертикальной оси y.
В любом случае контролем правильности положения осей является то, что ось V (с минимальным значением главного момента инерции) должна располагаться по большему протяжению площади сечения, т. е. вдоль нее, а ось U, наоборот, по меньшей площади поперек нее. Найдя положение главных осей U и V, определяем главные центральные моменты инерции относительно этих осей по выражению
. (9)
Построение круга инерции. Главные центральные моменты инерции и положение главных осей могут быть найдены и графически, по кругу инерции. Для этого необходимо использовать найденные ранее величины осевых I
и I
и центробежного I
моментов инерции.
В системе ХОУ по оси х откладываем в масштабе величины Ix и Iy отрезки ОКx и ОКу (рис. 3). Из конца этих отрезков на перпендикулярах откладываем величину Ixy − Кх Дх и Ку Ду. Соединяем точки Дх и Ду прямой и, как на диаметре, описываем окружность с центром в точке С.
Отрезки ОВ и АО, измеренные в масштабе, дают нам величины Iv и Iu соответственно. Проектируя Дх на противоположную сторону круга и соединяя ее с В, получаем направление оси U, т. е. угол а.
Рис. 3. Круг Мора.
Построение эллипса инерции. Эллипс инерции служит для графического определения осевых и центробежного моментов инерции относительно осей х1 y1, повернутых на любой угол к центральным. Для построения эллипса инерции необходимо определить радиусы инерции iu и iv:
; 
. (10)
Найденные радиусы инерции откладываются по осям U и V (являясь полуосями эллипса), причем радиус инерции iu откладывается по оси V, а радиус инерции iv − по оси U. Таким образом, эллипс оказывается вытянутым вдоль оси V, т. е. лежит на большей площади сечения.
Проводя касательные к эллипсу параллельно осям, относительно которых необходимо вычислить моменты инерции, замеряем расстояние между касательными и осями и получаем величину радиусов инерции ix и iy. Определяем величину моментов инерции относительно искомых осей:
и 
.
Центробежный момент инерции определяется по выражению
или 
,
где а и b − расстояние от точки касания касательной до соответствующих осей.
Вычисление моментов сопротивления относительно выбранных центральных осей. Моментами сопротивления Wx, Wy называются величины, равные отношению соответствующего момента инерции относительно центральной оси к расстоянию от этой оси до самой удаленной точки сечения.
Моменты сопротивления служат основной характеристикой для подбора сечений балок, работающих на изгиб или кручение. Для прокатных профилей моменты сопротивления приведены в таблицах сортамента, для остальных сечений произвольной формы вычисляются по формулам
; 
.
2. УСЛОВИЯ И ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАЧ
3адача 1. Составное поперечное сечение выполнено из прокатных профилей. Форма сечения приведена на рис. 4. Требуется:
1) определить положение центра тяжести сечения относительно произвольно взятых осей X и Y;
2) вычислить осевые I
и I
и центробежный I
моменты инерции составного сечения относительно центральных осей Xс и Yс;
3) определить положение (угол б) главных центральных осей U и V;
4) определить величины главных центральных моментов инерции Iu и Iv относительно главных осей U и V;
5) найти главные радиусы инерции и построить эллипс инерции.
Дано: двутавр №27, уголок равнополочный 12,5/9.
Рис.4. Составное сечение.
Решение. Выписываем из сортамента необходимые размеры и геометрические характеристики прокатных профилей.
Двутавр №27:
А1 = 40,2 см2, Ix = 5010 см4, Iy = 260 см4, b =12,5 см, h = 27 см.
Равнополочный уголок └ 125Ч125Ч9 мм:
А2 =22,0 см2, Ix =327 см4, Iy =327 см4, Iv(min) =135 см4, z0 = 3,4 см.
Вычерчиваем составное сечение (см. рис.5) в масштабе 1:4 (в расчетно-графической работе вычерчиваем на миллиметровой бумаге). Наносим все размеры и положение собственных центральных осей двутавра и уголка. Выбираем произвольные оси координат X и Y. Систему координат выбираем таким образом, чтобы все составное сечение находилось в положительном квадранте.
1. Определяем координаты центра тяжести составного сечения относительно произвольно взятых осей X и Y.
Для заданного сечения, состоящего из двух элементов, координаты центра тяжести определяются следующим образом:
Центры тяжести отдельных элементов, составляющих составное
Рис.5. Составное сечение из двутавра и уголка.
сечение, известны и находятся по таблицам сортамента прокатной стали. В соответствии с выбранными осями
xc1= bугол. =12,5 см; yc1= hдв / 2 = 27 /2 = 13,5 см;
xc2= bугол.– z0 = 12,5–3,4 = 9,1 см; yc2= hдв + z0 = 27 +3,4 = 30,4 см.
Найденные координаты наносятся на чертеж составного сечения (рис.5). Центр тяжести должен лежать на прямой, соединяющей центры тяжести отдельных элементов.
2. Вычисляем осевые I
и I
и центробежный I
моменты инерции составного сечения относительно центральных осей Xс и Yс:
I
= I
I + I
II ;
см 4.
I
= I
I + I
II ;
см 4.
С учетом параллельного переноса осей расстояния между ними
а1 = – (yc –yc1) = – (19,5–13,5) = – 6,0 см;
а2 = yc2 – yc = 30,4 –19,5 =10,9 см;
b1 = xc1 – xc = 12,5 – 11,3=1,2 см;
b2 = – (xc – xc2) = – (11,3 – 9,1) = –2,2 см.
I
= I
I + I
II;
3. Определяем положение (угол б) главных центральных осей инерции U и V:
,
2б = 8,2є, б = 4,1є.
4. Определяем величины главных центральных моментов инерции Iu и Iv относительно главных осей U и V:
= 5074,695 ± 4368,27;
Imax = Iu = 5074,695 + 4368,27 = 9442,965 см4,
Imin = Iv = 5074,695 – 4368,27 = 706,425 см4.
Imax + Imin = I
+ I
;
9442,965+706,425 = 9398,02 + 751,37;
11149,39 = 11149,39 см4.
5. Находим главные радиусы инерции и строим эллипс инерции (рис. 5):
.
На чертеже (рис.5) проводим главную ось U (max), а затем ей взаимно перпендикулярную V (min). На осях U и V строим эллипс инерции.
Вывод: так как I
< 0, то главная ось U (max) проходит через квадранты I и III;
если значение I
> I
, то угол б = 4,1є откладывается от горизонтальной оси Xс.
Радиус инерции iu = 12,3 см откладывается на оси V (min), а радиус инерции iv = 3,4 см − на оси U (max).
Задача 2. Форма таврового сечения приведена на рис.6. Требуется:
1) определить положение центра тяжести сечения относительно произвольно взятых осей X и Y;
2) вычислить осевые I
и I
моменты инерции составного сечения относительно центральных осей;
3) определить величину минимальных моментов сопротивления относительно центральных осей.
Дано: размеры таврового сечения b1 = 1,5 см, h1 = 12 см, b2 = 12 см, h2 = 3 см.
Рис.6. Тавровое поперечное сечение.
Решение. Вычерчиваем составное сечение (рис.7) в масштабе 1:3 (в расчетно-графической работе вычерчиваем на миллиметровой бумаге), разбивая его на два прямоугольника. Наносим все размеры и положение собственных центральных осей двух прямоугольников. Выбираем произвольные оси координат X и Y.
Определяем координаты центра тяжести составного сечения:
В соответствии с выбранными осями
xc1 = 0, yc1 = h1 / 2 = 12 /2 = 6,0 см,
xc2 = 0, yc2 = h1 + h2 / 2 = 12+ 3 /2 = 13,5 см.
Найденные координаты наносятся на чертеж составного сечения (рис.7).
2. Вычисляем осевые I
и I
моменты инерции составного сечения относительно центральных осей Xс и Yс.
Предварительно вычисляем моменты инерции каждого из прямоугольников относительно собственных центральных осей:
I
= b1∙h13 /12 =1,5∙12 3 /12 = 216 см4;
I
= h1∙b13 /12 =12 ∙1,5∙3 /12 = 3,38 см4;
I
= b2∙h23 /12 =12 ∙3 3 /12= 27 см4;
I
= h2∙b23 /12 = 3∙12 3 /12 = 432 см4.
Используя зависимость между осевыми моментами инерции относительно параллельных осей, имеем
I
= I
I + I
II ;
Рис.7. Тавровое составное сечение.
;
а1 = – (yc –yc1) = – (11– 6) = – 5,0 см – расстояние между осями Xc и X1;
а 2 = yc2 – yc =13,5 –11 = 2,5 см – расстояние между осями Xc и X2;
Так как центральная ось Yс совпадает с центральными осями составляющих прямоугольников, b1 = 0 и b2 = 0.
см 4.
3. Определяем величину моментов сопротивления относительно центральных осей, для чего находим расстояние от центральных осей и до самых удаленных точек сечения уmах, xmax Для определения уmах необходимо подсчитать уверх и унижн., а для определения xmax – найти xлев и xправ и из этих значений принять наибольшие:
; 
ПРИЛОЖЕНИЯ
П р и л о ж е н и е 1
П р и л о ж е н и е 2
Вариант | Двутавр | Швеллер | Уголок равнополочный | Уголок неравнополочный | Пластина bxh, см |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 | 24а 24 22а 20 18а 20а 22 18 26 | 16 18а 20 16а 18а 20а 24 24а 26 | 10 11 12,5 14 18 16 20 25 22 | 10/6,3 11/7 12,5/8 16/10 9/5,6 14/9 18/11 11/7 16/10 | 16х2 18х2 20х2 16х2 18х2 20х2 16х2 18х2 20х2 |
П р и л о ж е н и е 4
Величина | В а р и а н т ы | |||||||||
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |
а, см | 7 | 12 | 10 | 8 | 14 | 16 | 6 | 9 | 11 | 13 |
ЛИТЕРАТУРА
1. Подскребко, материалов: учебник/. – Минск: Вышэйш. шк.,2007. 797 с.
2. Подскребко, материалов: учеб. пособие /. Минск: Дизайн ПРО, 1998. 592 с.
3. Ицкович, материалов: учеб. пособие/. М.: Высш. шк., 1982. 383 с.
4. Сопротивление материалов: учеб. пособие/под ред. .– М.: Высш. шк., 2000. 257 с.
5. Дарков, материалов: учеб. пособие/. М.: Высш. шк., 1989. 622 с.
6. Феодосьев, материалов/. М.: Наука, 1986. 512 с.
7. Пособие к решению задач по сопротивлению материалов /, , [и др.]. Изд. 4-е. М.: Высш. шк., 1974. 392 с.
