Задачи

8-ой заочной математической Олимпиады кафедры математики Западно-Казахстанского Государственного университета им. М. Утемисова

9 класс

Пусть m – некоторое натуральное число, а последовательность , образована по закону

, где – заданное число, а выбирается произвольно. Доказать, что .

Врачу надо осмотреть пять больных с разными инфекционными болезнями. Как это сдалать, если он имеет только три пары резиновых перчаток? В угол NAK, равный 60, вписана окружность, которая касается сторон угла в точках В и С. Доказать, что длина произвольного отрезка, соединяющего любые две точки внутри области, ограниченной отрезками АВ, АС и меньшей другой окружности ВС, не превосходит АВ. Найти все натуральные числа, которые в одинадцать раз больше суммы своих цифр. Длина вектора, равного сумме данных 10 векторов, больше, чем длина суммы любых девяти из них. Доказать, что существует ось, на которую проекция каждого из данных 10 векторов положительна.