Тест по геометрии состоит из 30 вопросов (стр. 2 )

Радиус окружности, описанной около стороны квадрата равен половине диагонали квадрата, а диагональ d можно вычислить по формуле , т. е. радиус: . Получим: см.

Ответ: радиус окружности, описанной около грани куба 2 см.

9. Угол между боковой гранью и плоскостью основания правильной треугольной пирамиды равен 450. Объем пирамиды равен 9 м?. Найти сторону основания пирамиды.

A) 9 см;  B) 2 см; C) см; D) 5 см;  E) 6 см

Решение:

В правильной треугольной пирамиде КАВС основание высоты – центр треугольника АВС, отрезок ОТ – радиус окружности,  вписанной в треугольник АВС вычисляется по формуле .

Углом между плоскостью основания и плоскостью боковой грани является угол, образованный апофемой КТ и радиусом вписанной окружностью ТО, т. е. угол КТО.

Угол КТО равен 45?, значит треугольник КТО – прямоугольный и равнобедренный, т. е. высота пирамиды равна радиусу вписанной в основание окружности: .

Объем пирамиды можно вычислить по формуле , а площадь основания (правильного треугольника) по формуле .

Получим: , м.

Ответ:  м.

10. Из вершины А квадрата АВСD со стороной 16 см восстановлен к плоскости квадрата перпендикуляр АМ длиной 12 см. Найти площадь треугольника ВМС.

A) 120 см?;  B) 200 см?; C) 155 см?; D) 320 см?;  E) 160 см?

Решение:

Найдем по теореме Пифагора длину отрезка ВМ – гипотенузу прямоугольного треугольника АМВ с катетами АМ=12 см, АВ=16 см: см.

По теореме о трех перпендикулярах треугольник ВМС – прямоугольный (МА – перпендикуляр, МВ – наклонная, АВ – проекция наклонной, ВС – перпендикулярный АВ отрезок, лежащий в плоскости проекции наклонной, т. е. угол МВС – прямой).

Площадь прямоугольного треугольника ВМС равна половине произведения его катетов ВС и ВМ, т. е. искомая площадь равна 160 см?.

Ответ: 160 см?.

11. Из точки М проведены две секущие к окружности, пересекающие её в точках А, В и С, D соответственно. Найдите  СD, если МВ = 10, МD = 15, СD = МА.

A) 9 см;  B) 6 см; C) см; D) 5 см; E) 4 см

Решение:

Отрезки секущих МА, МВ, МС и MD связаны теоремой: МА·МВ=МС·МD.

Зная, что СD=МА и СМ=МD-CD, получим: 10CD=15(15-CD), т. е.  CD=9 см.

Ответ: CD=9 см.

12. Образующая прямого конуса равна 4 см и наклонена к плоскости основания под углом 300. Найти объем конуса.

A) 8? см2 ;  B) 6? см2 ; C) 12? см2 ; D) 10? см2 ; E) 4? см2

Решение:

Объем конуса вычисляется по формуле , где R – радиус основания конуса, Н – его высота.

Известно, что угол наклона образующей (длина которой 4 см) к плоскости основания, т. е. угол между образующей и основанием равен 30?. Значит высота конуса, радиус его основания и образующая – стороны прямоугольного треугольника с углом 30?.  Длина высоты – 2 см (половина длины гипотенузы), длина радиуса - см (в прямоугольном треугольнике с углом 30? катеты относятся как ).

Найдем объем конуса см?.

Ответ: объем конуса 8? см?.

13. Дана точка А(3; 2; 4). Найти сумму расстояний от точки А до оси Оу и от точки А до плоскости хОz.

A);  B) 9; C) 5; D) 7; E) 12

Решение:

Квадрат расстояния от точки А(3; 2; 4) до оси Оу вычисляется по теореме Пифагора как сумма квадратов координат х и z, т. е. (ед отр).

Расстояние от точки А до плоскости хОz – равно величине координаты у, т. е. (ед отр).

Таким образом (ед отр).

Ответ: (ед отр).

14. Найти площадь круга, вписанного в прямоугольный треугольник, если проекции катетов на гипотенузу равны 9 м и 16 м.

А) 40? м2;  В) 16? м2;  С) 36? м2;  D) 49? м2; Е) 25? м2

Решение:

Если АК=9 м, ВК=16 м, то АВ=25 м.

Запишем определение косинуса угла А сначала в прямоугольном треугольнике АКС, затем в прямоугольном треугольнике АСВ:

,  AC?=9·25,  АС=15 м.

Аналогично, рассмотрев треугольники ВКС  и ВСА, получим ВС=20 м.

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, вычислим по формуле , получим м.

Площадь круга значит м?.

Ответ: 25? м?.

15. Сфера задана уравнением х?+у?+z?-2х+4у=4. Найти координаты центра сферы и длину ее радиуса.

А) (1; -2; 0), R=3;  В) (-1; -2; -1), R=3;  С) (1; 2; 0), R=9;  D) (1; 2; 1), R=2; Е) (1; 2; 0), R=4

Решение:

Уравнение сферы имеет вид (х-a)?+(y-b)?+(z-c)?=R?, где О(a; b; c) – координаты ее центра, R – радиус сферы, М(х; у; z) – любая точка сферы,  значит

(х?-2х+1)+(у?+4у+4)+(z-0)?=4+1+4,

(х-1)?+(у+2)?+z?=9 – уравнение сферы и О(1; -2; 0), R=3.

Ответ: О(1; -2; 0), R=3.

16. Площадь осевого сечения прямого кругового цилиндра равна 24 м?. Найти площадь его боковой поверхности.

A) 24? м?; B) 72 м?; C) 8? м?; D) 68 м?;  Е) 36? м?

Решение:

Площадь осевого сечения цилиндра можно вычислить по формуле , а площадь боковой поверхности -  , значит м?.