Кинематика. Прямолинейное равноускоренное движение

КИНЕМАТИКА. Прямолинейное равноускоренное движение

1. Зависимость проекции скорости движущегося тела от времени имеет вид: vx = 2 + 3t (м/с). Какой может быть соответствующая зависимость от времени координаты этого тела?

         1) x = 3 + 2t + 3t2 (м)  3) x = 2 + 2t + 1,5t2 (м)

         2) x = -4 +3t + 1,5t2 (м)  4)  x = 1 +2t + 6t2 (м)

2. Тело, движущееся прямолинейно с постоянным ускорением и с начальной скоростью v0, проходит некоторое расстояние, и приобретает скорость 5v0. Какова была скорость этого тела в тот момент, когда оно прошло первую треть этого расстояния?

       1)        2)        3)        4)

3.  Зависимость координаты материальной точки от времени для прямолинейного движения имеет вид (все величины заданы в СИ). Из этого уравнения видно, что при t = 0 тело находится в начале координат. Чему будет равен модуль скорости тела в тот момент, когда тело снова окажется в начале координат? (8 м/с)

4. За промежуток времени ?t = 2 с прямолинейного движения с постоянным ускорением тело прошло путь S = 20 м, увеличив свою скорость в n = 3 раза. Определите конечную скорость тела. (15 м/с)

5. Тело, двигаясь с постоянным ускорением, имело начальную скорость v0 = 10 м/с. Определите путь, который пройдет это тело до остановки, если за третью секунду своего движения оно прошло путь S = 2 м. (62,5 м)

6. Используя график зависимости проекции скорости прямолинейно движущегося тела, определите путь, пройденный этим телом за 6 секунд.

7. Тело бросили вертикально вверх с некоторой начальной скоростью. Через промежуток времени ?t1 = 1 с скорость тела по модулю первый раз уменьшилась в n = 2 раза. На какую максимальную высоту поднимется тело? g = 10 м/с2. (20  м)

8. Тело свободно падает с некоторой высоты без начальной скорости, при этом первую половину этой высоты тело пролетает за время  t1 = 1 с. Определите скорость тела перед падением на землю. g = 10 м/с2. Ответ округлите до трех значащих цифр по правилам округления. (14,1 м/с)

Теоретические сведения и примеры решения задач

В этой теме мы рассмотрим  движение тела, при котором его скорость изменяется. Вспомним некоторые физические понятия.

Среднее ускорение – векторная величина, равная отношению изменения (приращения) скорости к промежутку времени , за которое это изменение произошло:

.        (1)

Если же нас интересует ускорение в данный момент времени, то это будет мгновенное ускорение:

.                        (2)

Замечание: не стоит сильно волноваться – мы не будем практически пользоваться выражением (2) для нахождения ускорения.

В данной теме рассматривается прямолинейное движение, при котором скорость тела за любые равные сколь угодно малые промежутки времени изменяется на одну и ту же величину. Понятно, что при таком движении среднее и мгновенное ускорения будут равны: . Другими словами, здесь  рассматривается прямолинейное движение с постоянным ускорением. Такое движение часто называют прямолинейным равноускоренным (в учебниках встречается также термин «равнопеременное движение»).  В принципе, для полного описания указанного выше движения материальной точки достаточно двух векторных соотношений. Первое – для радиус-вектора: .  Второе ?для скорости:.  Для одномерного движения эти два соотношения проецируются на одну координатную ось и получаются два скалярных выражения. Одно ? для координаты, второе ? для проекции скорости:

               (3)  и        .                (4)

Дело, однако, осложняется тем, что предлагаемые на  испытаниях (экзаменах, олимпиадах) задания по этой теме очень разнообразны. Да еще и уровень знаний, который хотят получить учащиеся при обучении, очень различный.  Некоторым вполне достаточно уровня заданий из части 1 ЕГЭ. Другие хотят гораздо  большего. Автор постарается помочь и тем и другим. Именно поэтому в этой теме мы разберем больше заданий. Итак,  для решения многих задач (далеко не всех, но об этом позже!) по кинематике прямолинейного движения вполне можно обойтись без координатной, а тем более векторной записи уравнений. Это задачи, где используются понятия пути и модуля скорости (часто слово «модуль» просто забывают в условиях задач; мы зачастую так тоже будем поступать). Для решения задач этого типа надо знать некоторые соотношения (формулы), которые сведены в Таблицу 1.

Таблица 1.

Прямолинейное движение с постоянным ускорением:
Движение с увеличивающейся по модулю скоростью (тело разгоняется):	Движение с уменьшающейся по модулю скоростью (тело тормозит):
Изменение со временем модуля скорости
Зависимость пройденного пути S от времени t
Связь между путем S, конечной vк и начальной vн скоростями и модулем ускорения
Средняя скорость прохождения пути

Решим несколько задач на применение соотношений, записанных в таблице.        

Задача 1 (Совсем простая).  При прямолинейном равноускоренном движении скорость катера увеличилась за 10 с от 2 м/с до 8 м/с. Чему равно ускорение катера? Какой путь пройден катером за это время?

Решение.

В этой задаче время движения t = 10 с, начальная скорость vн = 2 м/с, конечная скорость  vк = 8 м/с. Видим, что модуль скорости увеличивается, поэтому , откуда искомое ускорение .

Пройденный катером путь .

Ответ: ; 50 м.

Задача 2 (Уже не совсем простая). Автомобиль двигался со скоростью 4м/с, затем выключил двигатель и начал торможение с ускорением 1 м/с2. Какой путь пройден автомобилем за 5 с  момента начала торможения?

Решение.

Начальная скорость автомобиля vн = 4 м/с, ускорение a = 1 м/с2. Это уже задача с небольшой хитростью.  Всегда надо быть осторожным, когда имеешь дело с движением, когда векторы начальной скорости и ускорения направлены противоположно  (правая колонка таблицы 1)! Нельзя подставлять в формулу для пути данное в задаче время 5 с. Дело в том, что автомобиль останавливается раньше. Действительно, запишем формулу для модуля скорости:. Положим теперь v = 0. Тогда , откуда время остановки автомобиля . Таким образом, автомобиль находился в движении только 4 секунды! Именно это время и надо подставлять в формулу для пути:

.

Ответ: 8 м.

Следует отметить, что приведенные в последних двух строках таблицы 1 соотношения, получены из формул, записанных в первых двух строках. Настоятельно советуем Вам получить их самим! Это совсем несложно: надо выразить время t из уравнения для скорости и подставить в формулу для пройденного пути S. Эти формулы позволяют гораздо быстрее решать задачи, что очень важно на экзаменах. Здесь как в алгебре: можно и не знать формулы сокращенного умножения, но будет непросто.  Приведем простые примеры.

Задача 3 (Простая). Автобус движется со скоростью 36 км/ч. На каком минимальном расстоянии от остановки водитель должен начать тормозить, если для удобства пассажиров ускорение при торможении не должно превышать 1 м/с2?

Решение.

В нашем случае начальная скорость vн = 36 км/ч = 10 м/с, конечная скорость vк = 0, ускорение  a = 1,2 м/с2. Векторы начальной скорости и ускорения направлены противоположно. Используем связь между путем S, конечной и начальной скоростями, и модулем ускорения из левой части таблицы: . Тогда искомый путь .

Ответ: 50 м.

Задача 4 (Посложнее предыдущей задачи). Тело, движущееся равноускоренно с начальной скоростью v0 = 1 м/с, пройдя некоторое расстояние, приобретает скорость v = 7 м/с. Какова была скорость тела в тот момент времени, когда оно прошло половину расстояния?

Решение.

В нашем случае начальная скорость vн = v0 = 1 м/с, конечная скорость vк = v = 7 м/с больше начальной скорости, ускорение a неизвестно, пройденный путь S неизвестен. Используем связь между путем, конечной и начальной скоростями, и модулем ускорения из левой части таблицы:. Запишем теперь эту формулу два раза с учетом того, что к моменту прохождения половины пути S/2 тело приобрело скорость искомую скорость vс: ; .

Поделив первое соотношение на второе, получим: .

Отсюда искомая скорость тела в середине пути .

Ответ: 5 м/с.

Мы рассмотрели задачи, в которых необходимо было найти пройденный путь, а также модули скорости и ускорения. Однако, как уже говорилось, существует обширный класс экзаменационных задач, связанных с нахождением проекций векторов перемещения, скорости и ускорения. При решении таких задач надо, как правило, делать рисунок, на котором показывать начало координат, начальную точку xн, а также векторы начальной скорости и ускорения .

Задачаx 5 (Простая задача ? соответствует требованиям части 1 ЕГЭ). Зависимость проекции скорости движущегося тела от времени имеет вид: vx = 2 + 3t (м/с). Каково соответствующее уравнение координаты тела?

Решение.

Выпишем соотношение (4)  для проекции скорости при равноускоренном движении: .

Сравнивая его с данной в задаче зависимостью: , найдем, что vнx = 2 м/с, а ax  = 3 м/с2. Записывая соотношение  (3)  для координаты тела при равноускоренном движении:, получим: .

Чрезвычайно удобен координатный способ для решения задач, в которых необходимо найти время встречи двух сближающихся тел. Трудозатраты в этом случае гораздо меньшие, чем при решении этих же задач с использованием формул для пути и модуля скорости. Покажем это на примере.

Задача 6 (Обычная задача «на встречу»). Два велосипедиста едут навстречу друг другу. Один из них с начальной скоростью 18 км/ч поднимается в гору с постоянным ускорением, модуль которого 20 см/с2. Другой велосипедист с начальной скоростью 5,4 км/ч спускается с горы с таким же по модулю ускорением. Через какое время они встретятся? На каком расстоянии от подножия горы произойдет встреча? Расстояние между велосипедистами в начальный момент времени равно195 м.

Решение.

Сделаем рисунок к задаче, на котором покажем начало отсчета координаты, начальные скорости и ускорения велосипедистов. Тогда для первого велосипедиста зависимость координаты от времени имеет вид:,так как, , и .

Для второго велосипедиста зависимость координаты от времени имеет вид:

, так как , , .

В момент встречи координаты велосипедистов будут равны. Это условие позволяет найти время встречи tв:

.

Чтобы найти расстояние от подножия горы до места встречи велосипедистов, достаточно подставить найденное время в уравнение для координаты первого велосипедиста:

.

Ответ: 30 с; 60 м.

Задача 7 (Сложная, соответствует части 3 ЕГЭ). Для двух тел, движущихся из начала координат, показаны графики зависимости проекции скорости от времени.  Определите координату встречи этих тел. Значения v0 и t0 считать известными.

Решение.

Задача достаточно сложная, так как надо, во-первых, «обрабатывать» графическую информацию. Во-вторых,  в этой задаче тела начинают движение не одновременно.  По этой причине уравнения, выражающие  зависимости координаты и проекции скорости тела от времени, необходимо «подправить» с учетом того, что тела начинают движение не одновременно:

, Здесь tн – время начала движения тела (или время начала наблюдения за движением тела). Вы можете задать вопрос автору, почему он сразу не написал эти «подправленные» уравнения? Ответ будет простым: не было надобности! Без нужды уравнения усложнять не нужно. Тогда в нашем случае  зависимости координат тел от времени примут вид: , , так второе тело задержалось на старте. Для проекций скоростей получим: , С использованием последних двух формул и графика определяем проекции ускорений: . В момент встречи тел их координаты будут равны: Решая квадратное уравнение, после относительно несложных преобразований получим время встречи тел (преобразования выполните самостоятельно!) и координату встречи

Ответ:

Вертикальное движение тела, брошенного вблизи поверхности Земли.

Вертикальное движение тел вблизи поверхности Земли (вверх или вниз) является равноускоренным,  так как в пренебрежении сопротивлением воздуха все тела движутся с постоянным ускорением – ускорением свободного падения g. Обычно в условии задач указывают, каково должно быть значение g. Мы будем полагать, что  g = 10 м/с2. Таким образом, все формулы, которые приведены в Таблице 1, могут использоваться для описания такого движения. Что касается координатного способа описания такого движения, то для его описания достаточно одной координатной оси. Обозначим ее OY. Уравнения для координаты и проекции скорости имеют вид:

       ,        (5)                ,  (6)

где – начальная координата тела (в момент времени t = 0), – проекция начальной скорости, – проекция ускорения свободного падения на ось OY. Замечание: при решении задач с неодновременным началом движения тел, эти уравнения надо «подправить» так, как мы это сделали в задаче 7.

       Задача 8. Камень брошен с высоты h = 10 м вертикально вверх  со скоростью v0 = 15 м/с. Через  какое время он достигнет земли? С какой скоростью он к ней подлетит?

Решение.

По условию задачи понятно, что камень сначала будет подниматься до некоторой максимальной высоты, а затем падать вниз. Конечно, эту задачу можно решить с использованием соотношений, приведенных в Таблице 1. Но гораздо эффективнее ее решать при помощи уравнений (5) и (6)! Здесь присутствует некоторый общий принцип: задачи с разворотом тел при их движении лучше решать координатным способом. Конечно, все задачи с таким типом движения относятся к задачам повышенной сложности.

Итак, ось OY направим вертикально вверх, начало отсчета выберем на земле.  Тогда Зависимости координаты y(t) и проекции скорости vy(t) от времени будут имеет вид:, .

В момент падения камня на землю y = 0, поэтому , или .

Решая это уравнение, получим: . Нам подходит один корень (т. к. t > 0):

.

В момент падения проекции скорости vy = v0 – gtпад = –20,6 м/с. Модуль скорости в момент падения .

Замечание. Модуль скорости камня в момент падения можно найти гораздо проще с использованием закона сохранения механической энергии ? буквально «в одну строчку»! Но об этом будет Вам рассказано на следующих занятиях.

Ответ: tпад = 3,6 с; v = 20,6 м/с.

Мы рассмотрели 8 задач. Подведем теперь некоторые итоги. Вы увидели, что задачи на прямолинейное движение с постоянным ускорением отличаются большим разнообразием, а также то, что для их успешного решения (даже самых простых задач!) Вам просто необходимо запомнить все те соотношения, которые были приведены выше. Надеемся также, что мы убедили Вас в том, что задачи на встречу движущихся объектов лучше решать  координатным методом. Это же, как правило,  относится и к тем случаям, когда при своем движении тела разворачиваются. Далее мы рассмотрим три так называемые графические задачи кинематики, после чего предложим Вам выполнить самостоятельную работу из шести задач.

Графические задачи кинематики равноускоренного движения

       Здесь мы рассмотрим так называемые графические задачи кинематики равноускоренного движения. В этих задачах либо условием, либо ответом к задаче является график зависимости какой-либо кинематической величины (координаты, пути, проекций или модулей скорости и ускорения) от времени. Это достаточно распространенный тип экзаменационных задач, поэтому советуем Вам обратить на них особое внимание, тем более, что с графиками у «обычного» школьника всегда имеются определенные проблемы.

Задача Гр1 (Простая задача). По графику зависимости проекции скорости от времени, представленному на рисунке, определите проекцию ускорения прямолинейно движущегося тела в моменты времени t  = 6 с и t  = 9 с.

Решение.

При прямолинейном движении с постоянным ускорением зависимость проекции скорости от времени имеет вид: . На графике можно выделить 6 характерных временных интервалов. Заметим сразу, что в трех из них, где проекция скорости не изменяется, ускорение равно нулю. Нас же интересует временные интервалы от 4 с до 8 с и от 8 с до 10 с.

В этом указанной выше зависимости проекции скорости от времени переменная t входит в первой степени. Следовательно, это линейная зависимость, характеризующаяся тем, что при любом значении переменной угловой коэффициент наклона остается неизменным. В нашем случае угловой коэффициент наклона численно равен искомой проекции ускорения ax, которая неизменна в указанных интервалах времени. Из приведенной выше зависимости получаем:

  и .

Задача Гр2 (Немного посложнее предыдущей). По графику зависимости проекции скорости от времени, представленному на рисунке к задаче Гр1, определите путь, пройденный прямолинейно движущимся телом за первые 8 секунд.

Решение

Эту задачу можно сделать двумя способами. Первый из них основан на использовании формул для равномерного и равноускоренного движений. Предлагаем Вам сделать это самостоятельно. Мы же предлагаем решение на использовании так называемого геометрического смысла пройденного телом пути. Напомним Вам, что путь численно равен площади под графиком зависимости проекции скорости от времени. Такой подход позволяет достаточно быстро рассчитать пройденный телом путь, а также определить координату тела в любой момент движения тела.

Итак, рассчитаем площадь под представленной на рисунке зависимостью в интервале от 0 до 8 с.  Она складывается из площади прямоугольника и трапеции:

.

Ответ: 60 м.

Задача Гр3 (Заметно сложнее предыдущей задачи). Используя график зависимости координаты тела времени, который представляет собой параболу,  постройте график зависимости проекции скорости на эту ось от времени.

Решение

Отметим, что в течение первых двух секунд координата уменьшается, следовательно, проекция скорости в этом промежутке времени будет отрицательной. В момент времени 2 с скорость тела становится равной нулю. Тело разворачивается, координата начинает увеличиваться, а проекция скорости становится положительной. При этом зависимость проекции скорости от времени должна быть линейной, т. е. график этой зависимости должен представлять собой прямую линию. Заметим также, что модули скорости тела в моменты времени 0 с и 4 с должны быть одинаковы. Для нахождения модуля начальной скорости  используем геометрический смысл пути: площадь под графиком зависимости проекции скорости от времени за первые две секунды должна быть равна 8 м. Тогда, используя формулу для площади треугольника, запишем: . Отсюда искомая начальная скорость vн = 8 м/с. Таким образом, искомый график имеет вид, показанный на рисунке.