ВОПРОСЫ
к экзамену по геометрии 1 к., 1 с. ОЗО
(Векторная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости)
Преобразования плоскости. Равенство преобразований. Композиция преобразований. Система аксиом Вейля. Понятие векторного пространства. Система аксиом Вейля. Понятие n-мерного векторного пространства. Система аксиом Вейля. Понятие n-мерного евклидова векторного пространства, точечно-векторное пространство. Примеры векторных пространств (на множестве троек действительных чисел). Вектор – направленный отрезок на плоскости. Равенство векторов. Свойства отношения равенства. Свободные векторы на плоскости. Сонаправленные и противоположно направленные векторы. Критерий равенства векторов. Понятие базиса. Аффинная система координат. Понятие ортонормированного базиса. Декартова прямоугольная система координат. Координаты вектора на плоскости в АСК. Действия над векторами в координатах в АСК. Модуль вектора в координатах в ДСК. Коллинеарные векторы. Основная теорема для коллинеарных векторов.. Критерий коллинеарности векторов в координатах. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. Деление отрезка в данном отношении. Простое отношение 3-х точек прямой. Скалярное произведение векторов. Определение. Инвариантность скалярного произведения векторов относительно выбора ДСК. Первая инвариантная форма. Понятие угла между двумя векторами на плоскости. Вторая инвариантная форма. Критерий ортогональности 2-х векторов. Неравенство Коши-Буняковского. Критерий коллинеарности двух векторов в координатах в АСК. Матрица и определитель перехода от одного базиса к другому. Ориентация базисов. Понятие направленного угла между двумя векторами на ориентированной плоскости. Матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому. Преобразование координат точки при переходе от одной АСК к другой. Формула преобразований координат точки при переходе от одной ДСК к другой. Полярные координаты. Связь полярных координат с ДСК.Прямая линия на плоскости. Различные виды уравнений прямой (векторное и скалярное параметрические уравнения; каноническое уравнение прямой; уравнение прямой, проходящей через две заданные точки). Прямая линия на плоскости. Различные виды уравнений прямой (уравнение прямой с угловым коэффициентом; общее уравнение прямой; уравнение прямой с нормальным вектором). Частные случаи расположения прямой относительно ДСК. Задание полуплоскости с помощью неравенств в АСК. Взаимное расположение двух прямых, заданных своими общими уравнениями. Расстояние от точки до прямой в ДСК. Направленный угол упорядоченной пары прямых на плоскости в ДСК Линии второго порядка. Эллипс (вывод формулы, свойства). Линии второго порядка. Гипербола (вывод формулы, свойства). Линии второго порядка. Парабола (вывод формулы, свойства). Линии второго порядка как конические сечения. Диаметры и хорды линии второго порядка. Сопряженные диаметры эллипса. Диаметры и хорды линии второго порядка. Сопряженные диаметры гиперболы. Общее уравнение линии второго порядка. Классификация линий второго порядка.
