Рассмотрим сложение векторов в точке наблюдения М(x, y), которая находится точно над центром излучателя.

Рисунок 5 – Сложение двух векторов в точке наблюдения

Для того, чтобы сложить вектора a и b в точке наблюдения, необходимо методом параллельного переноса перенести их в точку наблюдения и сложить по правилу параллелограмма как показано на рисунке 5.

Данную задачу удобно решать в координатном виде. Рассмотрим случай, когда точка питания располагается в центре окружности. Для решения этой задачи необходимо рассчитать координаты начал и окончаний всех векторов по контуру пластины. Рассмотрим расчет координат одного вектора. В прямоугольной системе координат расположим окружность радиуса R так, что начало системы координат совпадает с центром окружности. Проведем вектор, перпендикулярный касательной к окружности в произвольной точке окружности и обозначим координаты начала вектора X0, Y0 и координаты конца вектора X1, Y1.

Рисунок 6 – Построения для расчета координат вектора

Чтобы найти координаты вектора необходимо знать точку начала вектора А(х, y), направление ? и само значение вектора.                                                Начальные точки векторов находятся из функции, задающей контур излучателя. В данном случае излучатель круглый, и формула, задающая его контур – уравнение окружности (1):

(1)

Чтобы определить направление вектора необходимо найти производную функции (1), это дает коэффициент наклона касательной к точке окружности, а обратная величина – коэффициент наклона нормали. Таким образом, уравнение нормали будет иметь вид (2):

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

(2)

Где производная функции, задающей контур излучателя:

(3)

Используя формулу (3), находим угол наклона нормали к оси Х. В данном случае, когда контур – окружность, он будет равен ?, но для других случаев он будет отличаться. Зная угол наклона нормали через формулу (3) можно найти значение координаты конца вектора (4)(5), где задается как модуль входного сигнала.

(4)

(5)

(6)

(7)

Имея аналитические выражения для поиска координат вектора можно вычислить значение этого вектора по формуле (7).


Построение треугольных и тетраэдрических сеток

Сеткой , заданной в области ???? называют множество ???? таких не пустых элементов, что их объединение совпадает с , а пересечением внутренностей любых двух из этих элементов является пустое множество ?. Наиболее известной и самой простой является прямоугольная сетка, однако она обладает существенным недостатком, область её применимости сильно ограничена. В более универсальных сетках в качестве элементов обычно используются симплексы: в двумерном случае ? треугольники, в трёхмерном ? тетраэдры, однако если точно следовать [5], одними симплексами обойтись нельзя, если только ? не представляет собой выпуклый многоугольник в двумерном случае и многогранник в трёхмерном случае. В [5] авторы вводят разграничение между терминами триангуляция и построение сетки. Триангуляция вводится в выпуклой оболочке заданного множества точек. Поскольку в данном случае непрерывная граница области в итоге будет заменена приближённой границей в виде совокупности точек принадлежащих этой границе, далее не будем понимать под этими понятиями построение сетки, состоящей из симплексов. В соответствии с терминологией, используемой в двумерном случае, будем называть эту сетку треугольной сеткой, подразумевая, что в трёхмерном случае речь идёт о тетраэдрической сетке. Задача построения треугольной сетки без оптимизации по решению в двумерном случае фактически считается решённой [6,7], однако в трёхмерном случае всё обстоит гораздо хуже. Уже тот факт, что плоскость можно заполнить правильными треугольниками, а трёхмерное пространство нельзя заполнить правильными тетраэдрами свидетельствует о сложности построения треугольной сетки в трёхмерном случае [8]. Также, серьёзную проблему представляет невозможность визуального контроля правильности построения треугольной сетки в трёхмерном случае [8]. Существует множество методов построения треугольной сетки в заданной области. Для оценки, получаемой с их помощью сетки необходимо использовать такой параметр, как качество треугольной сетки. Этот параметр должен быть связан с аппроксимационными свойствами треугольной сетки. Известно, что оценка погрешности аппроксимации конечным элементом, обычно, пропорциональна отношению

где ???? – элемент треугольной сетки, ????(????) ? радиус вписанного в ???? шара (окружности в двумерном случае), а ????????????????(????) ? диаметр симплекса ????, который равен максимальному из расстояний между его вершинами. Однако на практике удобно использовать критерий, требующий минимальное количество затрат на его вычисление. Существует достаточно много приближённых оценок качества треугольной сетки. В программе используется параметр, который наиболее оптимален с точки зрения точности, полноты оценки качества сетки и удобства нахождения. В общем виде его можно записать следующим образом:

где ????????????(????) ? мера симплекса ???? (объём в трёхмерном случае и площадь в двумерном), ? длины рёбер ????, выходящие из одной вершины, ???? ? размерность пространства, а N – нормировочный коэффициент, который равен для трёхмерного случая, и соответственно для двумерного случая [6,8]. Значения выбранного параметра, характеризующего качество элемента треугольной сетки, будут принадлежать отрезку [0; 1], при этом 0 соответствует вырожденному элементу (при наличии таких элементов численный эксперимент с использованием данной сетки невозможен), а 1 соответствует правильному симплексу. Поэтому предпочтительнее использовать треугольную сетку с элементами максимально приближенными к правильному симплексу. Введённая оценка качества, характеризует конкретный элемент треугольной сетки, однако на практике необходимо оценивать всю треугольную сетку в целом. На практике, чтобы оценить качество треугольной сетки удобно вычислить среднее качество по всем элементам сетки, а также определить качество наихудшего элемента. Для достаточно сложных областей хорошим результатом является среднее значение параметра, равное хотя бы 0,5.


Методы построения треугольных и тетраэдрических сеток

Существующие методы построения треугольной сетки можно разделить на две группы по способу построения сетки: прямые и итерационные. Все прямые методы имеют два основных отличительных признака:

Построение искомой сетки осуществляется за один этап. Получаемая сетка является структурированной, то есть изначально известны топология (граф связей между узлами) и координаты всех узлов сетки.

Самыми распространёнными методами из этой группы являются методы построения треугольной сетки на основе шаблонов. Эти методы предназначены для триангуляции простых областей заданного вида, таких как прямоугольник, круг и т. д. в двумерном случае, и параллелепипед, цилиндр и призма и т. д. – в трёхмерном случае. Для каждой такой области используется свой шаблон, то есть схема размещения узлов и установки связей между ними. На рисунке 3 представлен шаблон построения сетки в прямоугольнике:

Рисунок 3 - Шаблон построения сетки в прямоугольнике

Для получения более мелкой сетки, можно разбить прямоугольник на несколько прямоугольников меньшего размера и применить к этим прямоугольникам представленный шаблон. На рисунке 4 представлены примеры шаблонов разбиения прямоугольного параллелепипеда на соответственно пять и шесть тетраэдров.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6