Определение резонансных частот микрополосковых патч-антенн (стр. 4 )

Следует отметить, что если в случае FDTD и FEM матрица в линейном уравнении получается сильно разреженной, блочно-диагональной (что позволяет существенно ускорять вычисления), то в случае MoM матрица получается плотной.

Для текущей задачи наиболее подходящим является метод моментов. Он наименее требователен к вычислительным ресурсам, прост в реализации, охватывает широкий класс СВЧ устройств. Мы будем использовать EFIE формулировку метода моментов, поскольку для нее известен алгоритм вычисления диады Грина в случае анизотропии диэлектрических слоев.

Метод моментов

Метод моментов (Method of Moments, MoM) применяется при решении задач, в которых присутствуют токи в металлических или диэлектрических структурах и излучение в свободное пространство. Эти структуры должны быть электрически малыми и обычно являются металлическими, однако специальные расширения метода допускают наличие диэлектриков в виде покрытий или объемных элементов конечных размеров. Метод моментов выполняет решение уравнений Максвелла в интегральной форме в частотной области. Достоинство метода моментов заключается в том, что он является «методом источника», т. е. дискредитируется только интересующая структура, а не свободное пространство, как при решении уравнений для нахождения поля в объеме. При этом граничные условия не требуются, а используемая память пропорциональна геометрии задачи и частоте.

В рамках текущей задачи был выбран метод моментов. Его математическое описание с использованием RWG базисных функций следует далее.

Пусть S - поверхность идеально проводящей антенны, - поле, создаваемое некоторым источником в пространстве в отсутствии антенны. Это поле индуцирует на поверхности S поверхностный ток . Тогда поле , создаваемое антенной, может быть вычислено по формуле:

(8)

Здесь D - интегральный оператор:

(9)

Где – функции Грина,  , где – длина волны.

Используя формулу и граничные условия на поверхности проводника , получаем интегральное уравнение относительно:

(10)

Это и есть интегральное уравнение электрического поля. Чтобы его решить методом моментов, необходимо представить неизвестный ток J в виде суммы известных функций с некоторыми коэффициентами. Эти функции в методе моментов называются базисными функциями:

(11)

Функция Грина

Функция Грина (ФГ) – функция, связанная с интегральным представлением решений краевых задач для дифференциальных уравнений. ФГ краевой задачи для линейного дифференциального уравнения – фундаментальное решение уравнения, удовлетворяющее однородным краевым условиям. ФГ является ядром интегрального оператора, обратного к дифференциальному оператору, порожденному данным дифференциальным уравнением и однородными краевыми условиями. ФГ позволяет найти решения неоднородного уравнения, удовлетворяющие однородным краевым условиям.

В нашем случае ФГ имеет вид матрицы (диада Грина) и является ядром интегрального оператора, связывающего плотность поверхностного тока в проводнике и касательную составляющую электрического поля:

Обзор базисных функций

Выбор набора базисных функций является существенной проблемой, поскольку в соответствии с требованием быстрой сходимости и полноты представления возможных распределений токов в конкретной задаче, их выбор может существенно сократить объем вычислений. Основные требования к набору базисных функций следующие: полнота, ортогональность элементов базисного множества, удовлетворяющие их граничным условиям. Выбор также может быть обусловлен спецификой отдельной решаемой задачи. Это уменьшает объем вычислений, но ограничивает область решаемых задач. Рассмотрим базисные функции, используемые на практике:

Волноводные моды

В качестве базиса выбираются собственные функции решения задачи Штурма-Лиувилля уравнения Гельмгольца для прямоугольных волноводов:

Где: m, n – номера базисных функций; a, b – геометрические размеры проводника. Для линий касающихся электрических стенок, базисные функции модифицируются таким образом, чтобы удовлетворять граничным условиям.

Возможность аналитического вычисления скалярных произведений базисных функций является большим преимуществом данного набора. Однако, лишь ограниченный набор устройств может быть рассчитан с их использованием, когда топология устройства представляет собой набор непересекающихся прямоугольных линий передачи.

Финитные базисные функции

Финитные базисные функции представляют собой функции с конечным носителем, инвариативные относительно трансляционного сдвига. Используемые финитные функции можно представить в виде произведения:

Можно выделить следующие наборы базисных функций:

Кусочно-синусоидальные базисные функции (PWS)

Такие функции наиболее удобны, когда производится расчет проводимых конфигураций с неоднородностями типа «открытый конец», «емкостный зазор» и. т.д. То есть таких устройств, где значение постоянной распространения k вдоль линии можно достоверно оценить, используя 2D анализ.

Крышечки (rooftops)

Такие функции могут применяться для расчета устройств с произвольной конфигурацией проводников с прямоугольными границами.

Треугольные (RWG) расчет областей с косоугольными краями.

Модифицированные треугольные базисные функции – расчет областей с краями произвольной кривизны.

Из приведенных выше базисных функций выбраны функции RWG.

В качестве базисных функций мы выбираем RWG функции.

RWG базисные функции

Одним из самых главных изобретений в области расчета поля антенн и являются разработанные S. Rao, D. Wilton, A. Glisson базисные RWG функции [1-10]. Для того, чтобы использовать эти функции, поверхность проводящего тела необходимо разбить на элементарные площадки – треугольники. Каждая функция определяется на паре треугольников, имеющих общее ребро:

Здесь – длина общего n - ого ребра треугольников и , и - их площади, - вектор, направленный из свободной вершины треугольника вектор, направленный к свободной вершине из произвольной точки треугольника . Здесь можно заметить, что существует разделение треугольников на «положительные» и «отрицательные». Это деление произвольное при условии, что за полный цикл расчета антенны оно меняться не будет.