Определение резонансных частот микрополосковых патч-антенн (стр. 3 )

Рисунок 4 - Шаблоны разбиения параллелепипеда на

а) – пять треугольников, б) – на шесть треугольников

Рассмотрим теперь более универсальные итерационные методы построения треугольных сеток. Эти методы позволяют автоматизировано строить треугольные сетки в достаточно сложных областях. То есть, нет необходимости аналитически анализировать область до построения сетки. В отличие от прямых методов, эти методы строят треугольную сетку последовательно, добавляя на каждой итерации один или несколько элементов, при этом ни координаты узлов, ни граф связей этих узлов заранее не известны. Поэтому сетки, построенные этими методами, являются неструктурированными. Однако это кажется малой расплатой за приобретённую универсальность. Среди итерационных методов опять же можно выделить несколько групп методов, а именно: методы граничной коррекции, методы исчерпывания, методы на основе критерия Делоне. Более подробно ознакомится с этими методами можно в [6,7].

Основные способы оптимизации треугольных и тетраэдрических сеток

Методы оптимизации треугольных сеток можно разделить на две группы:

Смещение узлов сетки без изменения связей между узлами. Перестроение связей между узлами треугольной сетки, без изменения положения узлов.

Методы, относящиеся к первой категории можно рассматривать как вариант «Сглаживания Лапласа» (Laplacian smoothing) [5,9]. Будем рассматривать не граничные узлы. Пусть ???? – рассматриваемый узел, а – узлы, отличные от ????, и принадлежащие элементам сетки, содержащим ????. Наиболее простой способ сдвига узла ???? можно представить в виде следующей формулы.

Естественным обобщением данного сдвига является добавление весов, тогда формула примет вид:

Веса могут выбираться из различных соображений, в частности их выбор может основываться на качестве элементов, которым принадлежит узел. Очевидно, что при выборе ???????? = 1 мы получим простейший вариант сдвига. Нетрудно заметить, что сдвиг может привести к элементам сетки, имеющим отрицательный объём в трёхмерном случае, или отрицательную площадь в двумерном случае. В таких случаях сдвиг должен быть отменён, однако можно попытаться произвести сдвиг не в максимально оптимальное положение применив следующую формулу:

где ????(0; 1). При этом для конкретного не гарантировано, что в результате сдвига в сетке опять же не появятся элементы с нулевой мерой, поэтому при осуществлении сдвига по этой формуле также необходимо произвести проверку элементов, содержащих ????.

Коротко рассмотрим два примера методов из второй группы соответственно относящихся к двумерному и трёхмерному случаям. Два треугольника, имеющие общее ребро образуют четырёхугольник, две вершины которого соединены рёбрами. При этом если удалить это ребро, а две другие вершины объединить ребром, то опять получатся два треугольника, качество которых может оказаться выше качества исходных треугольников. Пример данной операции представлен на рисунке 5.

Рисунок 5 - Пример повышения качества элементов треугольной сетки путём перестроения связей между узлами, принадлежащими этим элементам

Отметим следующее важное свойство этой операции. Если треугольники до перестановки ребра не удовлетворяли критерию Делоне, то после перестановки треугольники будут удовлетворять критерию Делоне. В некотором роде аналогичной является операция добавления ребра в трёхмерном случае. На рисунке 6 представлен пример замены двух тетраэдров, имеющих общую грань на три тетраэдра, имеющих общее ребро. Опять же, вновь построенные тетраэдры могут обладать лучшим, по сравнению с исходными, качеством. Добавляемое ребро обозначено штрих-пунктиром:

Рисунок 6 - Пример повышения качества элементов тетраэдрической сетки путём перестроения связей между узлами, принадлежащими этим элементам

Необходимо отметить, что производимая операция не всегда возможна, поскольку может привести к элементам с отрицательной мерой. На рисунке 7 представлены примеры, в которых предложенное перестроение невозможно.

Рисунок 7 - Пример выбора элементов, для которых оптимизирующее перестроение невозможно

Поэтому необходимо каждый раз проверять корректность проделанной операции, а также проверять, не получилось ли качество новых элементов меньше минимального качества исходных элементов. Если хотя бы одна проверка не прошла, проделанное перестроение необходимо отменить. На этом завершим краткое обсуждение примеров методов оптимизации треугольных сеток, более подробно с этими, а также другими методами можно ознакомиться в [5].

Анализ методов решения электродинамических задач

Существует достаточно большой набор методов моделирования СВЧ устройств. Во-первых, их можно разделить на методы, позволяющие решать нелинейные задачи, и методы, решающие задачу в линейном приближении. Во-вторых, методы, основанные на модельном описании компонентов устройства, и методы, анализирующие устройство в целом. Это разделение условно, поскольку модель того или иного узла СВЧ схемы в свою очередь получена каким-то методом моделирования. Наиболее распространенные методы моделирования планарных СВЧ устройств сведены в таблицу 1.

Таблица 1 - Распространенные методы моделирования планарных СВЧ

Линейный (пассивные СВЧ схемы)	Нелинейные (активные СВЧ схемы)
Модельный	Метод неопределенной Y матрицы (MoM в квазистатическом приближении, схемотехническое описание неоднородностей в линиях передач)	+ Метод гармонического баланса
Полный	Планарные устройства: MoM (EFIE, MPIE), FDTD, MFE	FDTD
Объемные устройства: FDTD, MFE

Для построения основных характеристик СВЧ устройств используют три основных метода решения электродинамических задач – метод конечных разностей в временной области (FDTD), метод конечных элементов (MFE), метод моментов (MoM).

Метод конечных разностей (FDTD) является наиболее общим методом, позволяющим моделировать все типы СВЧ устройств как в целом, так и отдельные его узлы. Совместное решение уравнений Максвелла с нелинейными уравнениями, описывающими отклик среды на прохождение электромагнитной волны, позволяет учесть самые тонкие эффекты. Притягательной стороной данного метода является так же его глубокая проработка, выполненная за последнее время и направленная как на повышение точности, так и на уменьшение времени вычислений. Главным недостатком данного метода является огромный объем вычислений, необходимых для получения решения с заданной точностью, что ограничивает его применение на персональных компьютерах – наиболее распространенных и доступных для инженера.

Метод конечных элементов (MFE) применяется для расчета линейных СВЧ устройств. Он незаменим при расчете волноводных трактов, объемных и диэлектрических резонаторов. Метод также глубоко проработан и является основой популярных программ моделирования СВЧ устройств. Основной недостаток данных программ – необходимость задания мелкой сетки для точного моделирования планарных устройств и невозможность моделирования планарных многослойных СВЧ схем с резким различием диэлектриков по толщине.

Метод моментов (MoM) применяется для моделирования планарных СВЧ схем. Задача моделирования всего устройства сводится к расчету плотности поверхностного тока (или напряжённости касательной составляющей электрического поля) только в плоскостях проводников. Таким образом, объем вычислений значительно сокращается по сравнению с FDTF и FEM. Плотности поверхностного тока и напряженность касательной составляющей электрического пол в плоскостях проводников связаны между собой интегральным преобразованием, ядром которого является диада Грина. Задача может решаться как для экранированной области, так и для открытой, неограничен как по числу диэлектриков, так и по числу слоев металлизации. Непосредственные связи между проводящими слоями также могут быть учтены.

Задачу можно сформулировать с помощью т. н. интегрального уравнения для электрического поля (EFIE). Или сформулировать задачу в терминах векторного и скалярного потенциала и, соответственно, решать задачу в постановке интегрального уравнения для смешанных потенциалов (MPIE).

Для решения интегральных уравнений применяется проекционный метод Бубнова-Галеркина, в соответствии с которым неизвестная функция раскладывается в ряд по некоему полному базису и интегральное уравнение сводится к неоднородному линейному уравнению относительно коэффициента разложения.