ЛЕКЦИЯ №15.
Сумма бесконечной геометрической прогрессии.
Цель урока: познакомить учащихся с суммой бесконечной геометрической прогрессии, с формулой суммы бесконечной геометрической прогрессии, уметь применять выведенную формулу при решении задач.
Следует различать понятия «сумма бесконечной геометрической прогрессии» и «сумма n членов геометрической прогрессии». Второе понятие относится к любой геометрической прогрессии, а первое – только к такой, где знаменатель меньше 1 по модулю.
Сумма бесконечной геометрической прогрессии – это предельное число, к которому сходится последовательность прогрессии.
Говоря иначе, какой бы длинной не была геометрическая прогрессия, сумма ее членов не больше какого-то определенного числа и практически равна этому числу. Оно и называется суммой геометрической прогрессии.
Не любая геометрическая прогрессия имеет такую предельную сумму. Она может быть только у такой прогрессии, знаменатель которой – дробное число меньше 1.
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии | ||
|
|
Если |
| и прогрессия имеет бесконечное число членов, то ее называют |
бесконечно убывающей геометрической прогрессией. |
Пример-пояснение:
Составим геометрическую прогрессию, в которой первый член – число 2, а знаменатель равен 
:
2; 1; 
; 
; 
; 
; 
; 
… и т. д.
Сложим все полученные члены прогрессии:
2 + 1 + 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
= 
? 3,98 ? 4.
Можно продолжить прогрессию до 10; 100; миллиона членов, но во всех случаях сумма членов прогрессии будет практически равна 4. Число 4 и является суммой данной геометрической прогрессии.
Чтобы найти сумму бесконечной геометрической прогрессии, не надо складывать все ее члены. Для этого существует замечательная и довольно простая формула.
Сумма S бесконечной геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
b1
S = ————
1 – q
b1 – первый член геометрической прогрессии; q – знаменатель прогрессии;
|q| < 1.
Решим наш пример с помощью этой формулы.
В нем b1 = 2, q = 
.
Итак:
2
S = ———— = 4.
1 – 
Вопросы:
Какой формулой задается бесконечная геометрическая прогрессия? Каким может быть знаменатель бесконечной геометрической прогрессии?