Задания по геометрии лиги B
Задание 1
Площадь квадрата равна 144 см?. В квадрат вписана окружность. Вычислите площадь равностороннего треугольника, вписанного в эту окружность.
Задание 2
Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, разбивает его на два треугольника. Докажите, что площади этих треугольников равны.
Задание 3
В прямоугольной трапеции меньшая диагональ равна 15 и перпендикулярна большей боковой стороне. Меньшая сторона трапеции равна 12. Найдите большее основание трапеции.
Задание 4
Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 100, её большая боковая сторона равна 29. Найдите радиус окружности.
Задание 5
В параллелограмме ABCD отмечена точка M – середина отрезка BC. Отрезок AM пересекается с диагональю BD в точке K. Докажите, что BK : BD = 1 : 3.
Задание 6
Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, который изображён на рисунке.
Задание 7
В параллелограмме ABCD точка K – середина стороны AB. Известно, что KC = KD. Докажите, что данный параллелограмм – прямоугольник.
Задание 8
В треугольнике ABC медиана AM перпендикулярна медиане BN. Найдите площадь треугольника ABC, если AM = m, BN = n.
Задание 9
Окружность проходит через вершины A и C треугольника ABC и пересекает его стороны AB и BC в точках K и E соответственно. Отрезки AE и CK перпендикулярны. Найдите угол ABC, если угол KCB равен 20°.
