Приложение 16

Практическая работа

Тема: Экстремальные значения геометрических величин

Цель: овладеть навыками применения производной в прикладных ситуациях

Теоретические вопросы для повторения:

Формулы и правила дифференцирования Алгоритм решения задач на оптимизацию Формулы площадей фигур планиметрии Формулы площадей поверхностей тел Формулы объемов тел

Задачи:

№ 1

Из всех прямоугольных треугольников с заданной суммой катетов найдите треугольник, у которого гипотенуза наименьшая.

№ 2

Из круглого бревна надо выпилить балку прямоугольного сечения с наименьшими отходами. Как это сделать?

№ 3

Из квадратного листа картона требуется сделать коробку наибольшей вместимости, вырезая по его углам равные квадраты и сгибая оставшуюся часть листа.

№ 4

Бак цилиндрической формы должен вмещать V литров воды. Каковы должны быть размеры бака, чтобы его поверхность (без крышки) была наименьшей?

№ 5

На двух стройплощадках возводятся два одноэтажных склада общей площадью 600 м2. Стоимость постройки склада прямо пропорциональна квадрату его площади. Кроме того, известно, что строительство 1 м2 на второй площадке обходится на 40% дороже, чем на первой. Какой должна быть площадь каждого склада, чтобы стоимость строительства была наименьшей?

Приложение 17

Практическая работа

Тема: Приложения производной к механике

Цель: овладеть навыками применения производной в прикладных ситуациях

Теоретические вопросы для повторения:

Формулы и правила дифференцирования Физический и механический смысл производной

Задачи:

№ 1

Высота камня, брошенного вертикально вверх со скоростью с начальной высоты от земли , меняется по закону , где – ускорение свободного падения.

Используя указанные данные, найдите:

а)  зависимость скорости камня от времени ;

б)  скорость камня через 2 с при , ;

в) высоту, на которой скорость станет равная нулю.

Покажите, что энергия камня   (где m – масса камня) не зависит от времени.

№ 2

Два тела движутся прямолинейно: одно по закону , другое по закону . Определите момент, когда скорости этих тел окажутся равными.

№ 3

Движение точки по оси х задано законом . Найдите мгновенную скорость в моменты времени . Обратите внимание на знак скорости.

№ 4

Тело удаляется от Земли по закону .

Используя указанный закон, найдите:

а) закон, по которому изменяется скорость тела;

б) ускорение тела.

Докажите, что сила, действующая на тело, меняется обратно пропорционально квадрату расстояния S.