Математические олимпиады (геометрия)

Математические олимпиады (геометрия)

( «Учимся решать олимпиадные задачи (геометрия) 2 – е издание)

5 класс

Рост Буратино 1 метр, а длина его носа раньше была 9 сантиметров. Каждый раз, когда Буратино врал, длина его носа удваивалась. Как только нос стал длиннее самого Буратино, тот врать прекратил. Сколько раз буратино соврал?  А Прямоугольник разрезали по ломаной линии,

  состоящей из 3 равных отрезков. Начало разреза в

  точке А (рис. 1). Получили две равные фигуры.

  Как это сделали?  Рисунок 1

Как разрезать квадрат 4 Ч 4 прямыми линиями так, чтобы из полученных частей можно было составить 32 равных квадрата? Не разрешается оставлять неиспользованные части, также накладывать их друг на друга.
Разрежьте квадрат 5 Ч 5 на 5 прямоугольников таким образом, чтобы у соседних прямоугольников стороны не совпадали. При этом 4 прямоугольника были бы равны, а пятый являлся квадратом. Найдите все решения.
Как разрезать квадрат 5 Ч 5 на 7 прямоугольников, среди которых нет одинаковых?
Разрежьте квадрат 5 Ч 5 на 10 одинаковых четырёхульников, не являющихся прямоугольниками.
Разрежьте каждую фигуру на три равные части (рис. 2). Резать можно только по сторонам клеточек. Части должны быть равными и по площади, и по форме.

        а         б

                Рисунок 2

Разрежьте фигуру на 2 равные части (рис. 3).

  Рисунок 3

Разрежьте фигуру, полученную из квадрата 7 Ч 7 вырезанием четырёх  угловых клеток 1 Ч 1 (рис. 4), на уголки вида  и  (уголки состоят из квадратиков размера 1 Ч 1), так чтобы квадратики, отмеченные на рисунке, оказались только в больших уголках.

       Рисунок 4

Фигура, изображённая на рис. 5, состоит из 7

  одинаковых квадратиков. Её периметр равен 16.

  Найдите площадь фигуры.

  Рисунок 5

3	4
?	5

  Рисунок 6

Прямоугольник разбит на четыре маленьких прямоугольника. Площади трёх из них: 3, 4, 5 (рис. 6). Найдите площадь четвёртого прямоугольника.

На рис. 7 изображено 13 точек. Сколько квадратов с вершинами в этих точках можно нарисовать? (Точки рассматриваются в вершинах квадратиков со стороной 1).

  Рисунок 7

Из 26 спичек длиной по 5 см сложили прямоугольник наибольшей площади. Чему равна его площадь?
Расположите изображённые на рис. 8 два острых

угла таким образом, чтобы образовались четыре тупых угла.  Рисунок 8

  Рисунок 9

Сколько треугольников на рис. 9?

Изображённые на рис. 10 фигуры 1, 2, 3 и 4 являются

квадратами. При этом периметр первой фигуры равен 16 см,

периметр второй – 24 см. Найдите периметр фигуры 4.

  Рисунок 10

  Рисунок 11

Сколько различных по величине углов изображено на рис. 11?

Сколько треугольников на рис. 12? 

  Рисунок 12

Разрежьте квадрат на 3 части, из которых можно было бы сложить треугольник с тремя острыми углами и различными сторонами.
Разрежьте прямоугольник на 3 треугольника таким образом, чтобы среди полученных треугольников лишь 1 был прямоугольный.

Олимпиадная задача по математике – это задача повышенной трудности, нестандартная как по формулировке, так и по методам решения. Среди олимпиадных задач встречаются как нестандартные задачи, для решения которых требуются необычные идеи и специальные методы, так и задачи более стандартные, но которые можно решить оригинальным способом.

Олимпиадные задачи по математике встречаются иногда в контрольных работах по математике, их предлагают на разнообразных математических соревнованиях, и, конечно же, без них не обойтись на математических олимпиадах разного уровня.

Практически в каждой олимпиадной работе по математике встречается, как минимум одна задача по геометрии. И именно геометрические олимпиадные задачи вызывают наибольшие трудности у учеников. При этом можно утверждать, что как раз геометрия лучше всего развивает нестандартное мышление и помогает выделить математически одарённых людей.

Геометрические олимпиадные задачи очень разнообразны. Это и задачи на разрезание, и на построение и нахождение углов. Но чаще всего встречаются задачи, которые используют в своём решении  какую – то необычную идею, как правило, дополнительное построение.

Рассмотрим наиболее часто встречающиеся методы и приёмы решения разнообразных типов олимпиадных задач по геометрии.

В 5 – 6 классах наиболее часто встречаются различные задачи на разрезание. Рассмотрим одну из наиболее трудных задач такого типа.

Задача 1. Разделите квадрат 5 Ч 5 клеток с вырезанной центральной клеткой на четыре равные части. Найдите как можно больше способов. Разрезать можно только по сторонам квадратов.

Решение. Так как всего в квадрате остаётся 24 клетки, а надо разделить исходную фигуру на четыре равные части, то каждая из частей будет содержать по 6 клеток. Рассмотри, какие фигуры можно получить из 6 клеток (рис. 1).

Располагая по-разному выделенное нами фигуры в квадрате 5 Ч 5, получим следующие 7 способов (они показаны на рис 2).

Как видно, из 34 различных шестиклеточных фигур решение получилось только для семи из них (на рис. 1 он выделены).

Иногда в 5 – 6 классах встречаются и задачи на подсчёт числа фигур. Рассмотрим одну из таких задач.

Задача 2. Сколько треугольников изображено на рис. 3? 

  Рисунок 3

Решение. Подсчёт треугольников начнём с тех треугольников, которые не разбиты на другие треугольники. Таких треугольников будет по 3 в каждом квадрате, то есть 6. Теперь посчитаем число треугольников, состоящих из 2 треугольников. В каждом квадрате таких треугольников будет по 3, итого их 6. Теперь посчитаем число треугольников, состоящих из 3 фигур (2 треугольника и 1 четырёхугольник), всего их будет 2. И наконец, подсчитаем число треугольников, содержащих по 4 фигуры: это будет 2 самых больших треугольника, получающихся от деления прямоугольника на 2 части. Таким образом, всего получается 16 треугольников.