правительство Российской Федерации
Санкт – Петербургский государственный университет
МАТЕМАТИКО-МЕХАНИЧЕСКИЙ факультет
Принята на заседании кафедры высшей алгебры и теории чисел Зав. кафедрой, профессор | УТВЕРЖДАЮ Декан факультета, профессор |
ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
"Алгебраическая геометрия"
Специальность – 01.01.06 «Математическая логика, алгебра и теория чисел»
Санкт – Петербург
2013 г.
1. ОРГАНИЗАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКИЙ Раздел
Основная задача курса — дать аспиранту представление о ключевых понятиях коммутативной алгебры и алгебраической геометрии.
Целью курса является формирование навыков самостоятельного использования слушателями аппарата коммутативной алгебры и алгебраической геометрии.
Слушатели курса должны овладеть языком алгебраической геометрии и её техническим аппаратом, применяемым в научной работе.
Построение курса имеет концентрический характер, подразумевающий освоение важнейших алгебро-геометрических понятий и фактов сперва на языке алгебраических многообразий, а затем на языке схем.
2. ОБЪЕМ КУРСА
Продолжительность обучения | 1-2 года обучения |
Общая трудоемкость | 144 часа |
из них: лекции | 72 часа |
самостоятельная работа | 72 часа |
Изучение дисциплины, формы контроля: | |
1 год: | лекции– 36 ч., самостоятельная работа – 36 ч. |
2 год: | лекции– 36 ч., самостоятельная работа – 36 ч., зачет |
экзамен
3. СОДЕРЖАНИЕ КУРСА
РАЗДЕЛ 1. ОСНОВЫ КОММУТАТИВНОЙ АЛГЕБРЫ
Кольца и идеалы. Простые и максимальные идеалы. Радикал Джекобсона, нильрадикал, лемма Накаямы. Кольца частных. Модули. Условия нётеровости и артиновости. Теорема Гильберта о базисе. Модули конечной длины. Теорема Жордана–Гёльдера. Тензорные произведения модулей. Модули частных. Ассоциированные простые идеалы. Носитель модуля. Артиновы кольца. Целые расширения колец. Теоремы Коэна–Зайденберга. Факториальные кольца. Алгебры конечного типа над полем. Теорема Гильберта о нулях. Кольца дискретного нормирования. Дедекиндовы области. Теорема Крулля–Акидзуки.
РАЗДЕЛ 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
Замкнутые множества в аффинном пространстве. Регулярные функции. Регулярные отображения. Неприводимость. Топология Зарисского. Аффинные многообразия. Рациональные функции. Рациональные отображения. Проективные многообразия. Регулярные и рациональные отображения проективных многообразий. Замкнутость образа проективного многообразия. Конечные отображения.
РАЗДЕЛ 3. ТЕОРИЯ РАЗМЕРНОСТИ
Градуированные кольца и модули. Лемма Артина–Риса. Многочлены Гильберта–Самюэля. Функции Самюэля. Основная теорема теории размерности. Размерность кольца многочленов. Размерности конечно порождённых областей. Системы параметров. Регулярные локальные кольца. Размерность квазипроективного многообразия. Размерность пересечения с гиперповерхностью. Теорема о размерности слоёв.
РАЗДЕЛ 4. ЛОКАЛЬНАЯ АЛГЕБРА
Регулярные последовательности. Глубина модуля. Кольца и модуля Коэна-Маколея. Проективная и инъективная размерности модуля. Глобальная размерность кольца. Гомологический критерий регулярности. Факториальность регулярного локального кольца. Критерий нормальности Серра.
РАЗДЕЛ 5. ЛОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА МНОГООБРАЗИЙ
Локальное кольцо многообразия в точке. Касательное пространство. Инвариантность касательного пространства. Особые точки. Локальные параметры в точке. Разложение в степенные ряды. Нормальные многообразия и нормализация. Раздутие. Гладкость. Проективные вложения гладких многообразий. Ветвление.
РАЗДЕЛ 6. СХЕМЫ
Спектр кольца. Спектральная топология. Предпучки. Пучки. Определение схемы. Открытые и замкнутые подсхемы. Склеивание схем. Приведённые и целые схемы. Морфизмы схем. Отделимые и собственные морфизмы. Произведения схем. Квазикогерентные и когерентные пучки. Дивизоры Вейля и Картье. Линейные расслоения и обратимые пучки. Группа классов и группа Пикара. Лемма Чао. Критерии проективности. Проективные вложения. Раздутие пучка идеалов. Дифференциальные формы. Канонический класс. Теорема Римана–Роха для кривых.
Примерный перечень вопросов к зачёту по всему курсу
Кольца и идеалы, теорема о гомоморфизме. Операции над идеалами. Китайская теорема об остатках. Простые и максимальные идеалы. Нильрадикал и радикал Джекобсона. Модули. Точные последовательности. Конечно порождённые модули. Лемма Накаямы. Нётеровы и артиновы модули. Нётеровы кольца. Теорема Гильберта о базисе. Модули конечной длины. Теорема Жордана–Гёльдера. Тензорные произведения модулей. Модули частных. Ассоциированные простые идеалы и носитель модуля. Артиновы кольца. Целые расширения колец. Теорема Коэна–Зайденберга о подъёме. Целые расширения нормальных колец. Теорема Коэна–Зайденберга о спуске. Факториальные кольца. Лемма Нётер о нормализации. Теорема Гильберта о базисе. Конечность целого замыкания. Кольца дискретного нормирования. Дедекиндовы области. Дробные идеалы. Замкнутые множества в аффинном пространстве. Регулярные функции на замкнутом множестве в аффинном пространстве. Регулярные отображения. Неприводимые топологические пространства. Топология Зарисского. Аффинные многообразия. Рациональные функции на аффинных многообразиях. Проективные и квазипроективные многообразия. Регулярные и рациональные отображения. Замкнутость образа проективного многообразия. Конечные отображения многообразий. Градуированные кольца и модули. Лемма Артина–Риса. Теорема Крулля о пересечении. Многочлены Гильберта–Самюэля. Функции Самюэля. Основная теорема теории размерности. Размерность кольца многочленов. Размерности конечно порождённых областей. Максимальные цепочки простых идеалов в конечно порождённых областях. Системы параметров. Регулярные локальные кольца. Размерность квазипроективного многообразия. Размерность пересечения с гиперповерхностью. Размерность пересечения подмногообразий проективного пространства. Теорема о размерности слоёв. Критерии неприводимости тотального пространства. Регулярные последовательности. Глубина модуля. Кольца и модуля Коэна–Маколея. Регулярные последовательности в кольцах Коэна–Маколея. Катенарность колец Коэна–Маколея. Теорема несмешанности. Проективная размерность модуля Инъективная размерность модуля. Теорема Ауслендера–Бухсбаума. Глобальная размерность кольца. Гомологический критерий регулярности. Факториальность регулярного локального кольца. Критерий нормальности Серра. Локальное кольцо многообразия в точке. Касательное пространство. Простые и особые точки. Замкнутость множества особых точек. Локальные параметры в точке. Разложение в степенные ряды. Нормальные многообразия и нормализация. Раздутие поверхности в точке. Регулярность и гладкость. Проективные вложения гладких многообразий. Ветвление. Спектр кольца. Спектральная топология. Предпучки. Окольцованные пространства. Пучки, операции над ними. Слои предпучка, ассоциированный пучок. Определение схемы. Открытые и замкнутые подсхемы. Склеивание схем. Приведённые и целые схемы. Морфизмы схем. Отделимые и собственные морфизмы. Произведения схем. Замена базы. Квазикогерентные и когерентные пучки. Дивизоры Вейля. Дивизоры Картье. Линейные расслоения и обратимые пучки. Группа классов и группа Пикара. Лемма Чао. Критерии проективности. Проективные вложения. Раздутие пучка идеалов. Дифференциальные формы на схеме. Канонический класс. Дивизоры на кривых. Теорема Римана–Роха (формулировка).
4. ЛИТЕРАТУРА
Основная
. Коммутативная алгебра. СПб, изд-во СПбГУ, 2009. Р. Хартсхорн. Алгебраическая геометрия. М., Мир, 1971. . Основы алгебраической геометрии. В 2-х тт. М., Наука, 1988.Дополнительная
1. М. Атья, И. Макдональд. Введение в коммутативную алгебру. М., Мир, 1972.
2. Н. Бурбаки. Коммутативная алгебра. М., Мир, 1971.
3. О. Зарисский, П. Самюэль. Коммутативная алгебра. М., Изд-во иностр. лит-ры, 1963.
4. М. Рид. Алгебраическая геометрия для всех. М., Мир, 1991.
5. Дж. Харрис. Алгебраическая геометрия. Начальный курс. М., МЦНМО, 2005.
СОСТАВИТЕЛЬ:
, д-р физ.-мат. наук, доцент, профессор кафедры высшей алгебры и теории чисел.
РЕЦЕНЗЕНТЫ:
