Муниципальная НПК «Мой мир – мои открытия» | |
Полное название темы работы | Фрактальная геометрия |
Название секции НПК | Физико-математическая |
Тип работы | Исследовательская работа |
ФИО автора, дата рождения |
17.03.2002 |
Домашний адрес автора | Д. Елисеевка, ул. 40 лет Октября, дом 6, 663664 |
Место учебы: | Муниципальная общеобразовательная бюджетное учреждение «Елисеевская основная общеобразовательная школа» |
Класс | 8 |
Место выполнения работы | МОБУ «Елисеевская ООШ» |
Руководитель | , МОБУ «Елисеевская ООШ», учитель |
Ответственный за корректуру текста работы | , МОБУ «Елисеевская ООШ», учитель |
*****@***ru kostya. *****@***ru | |
Контактный телефон | 89233786203 89504150010 |
АННОТАЦИЯ
Коростелев Константин
Д. Елисеевка, МОБУ «Елисеевская ООШ», 8 класс
«Фрактальная геометрия»
Руководитель: , учитель математике
Цель исследовательской работы: Исследовать фрактал, природу создания фрактала и его историю.
Методы проведенных исследований:Математическое моделирование с использованием ИКТ
Основные результаты исследования: Разработал ряд материалов, которые можно использовать во внеурочной деятельности на уроках математики и информатики.
1.ВВЕДЕНИЕ
Актуальность:В математике, а в частности в геометрии очень много тайн, которые до конца ещё не раскрыты, а тем более не изучаются на уроках математики. Такой тайной можно назвать фракталы, которые вероятно в будущем выделят в одну группу, назовут фрактальной геометрией и будут изучать на уроках математике.
Проблема: В работе рассмотрены некоторые фрактальные фигуры, их построение и свойства. На основе изученных алгоритмов создания системы фракталов выполнил ряд компьютерных моделей фракталов.
Разработанность исследуемой проблемы: В ходе подготовке к выполнению практической части, выяснил, что по сравнению с Эвклидовой геометрией, данный раздел геометрии не исследован до конца, хотя фрактальная геометрия окружает нас повсюду.
Изучив теорию создания фракталов, применил полученные знания для построения простейших фракталов, создал брошюру, в которой описал алгоритм создания ряда фракталов.
2. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ
Цель проекта: Выяснить, что такое фрактал, изучить его геометрию и создать компьютерную модель фракталов.
Задача проекта:
Выяснить, что такое фрактал и его применение. Изучить историю создания и открытия фракталов. Простроить ряд фракталов с использованием ИКТ. Создать брошюру с заданиями «Геометрия фракталов».Данный проект может быть использован на уроках математики в ознакомительных целях.
Методы проведенных исследований: Математическое моделирование с использованием ИКТ.
Что такое фрактал
Фракталы - это сложная геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобием.
Некоторые фракталы сочетают всего лишь два свойства:
Они очень велики, часто многогранны, сложны и многообразны; Они создаются при помощи алгоритма, содержащего небольшого количество команд и далее циклическим способом разрастаются, при этом соблюдая закономерности.[1]Согласитесь, редко мы можем услышать слово "фракталы" в обыденности. Однако данный термин хорошо известен в науке, в частности, в геометрических пределах, компьютерной графике и других. Что же означает "фрактал" и где все же они применяются?
Слово «фракталы» имеет латинские корни и переведется как разбитый или разделенный на некие части.
С научной точки зрения, фрактал - геометрическая фигура, которая уже состоит из частей, или же может быть разделена на любой формы части, что будет являть собой уменьшенную копию большого целого.
То есть, фрактал - это такая фигура, которую можно рассматривать с любых сторон, и она всегда будит сохранять одно и то же положение или структуру.
Применяют фракталы дизайнеры или другие пользователи в компьютерной графике. Благодаря математическим формулам создаются красивые изображения - это так называя фрактальная графика.
Фрактальные изображения используют для создания на ИКТ различных предметов и явлений, например, облаков, разнообразные ландшафты для любых компьютерных игр, книжные иллюстрации.[2]
А ведь многие объекты в природе обладают свойствами фрактала, например: побережья, облака, кроны деревьев, снежинки, кровеносная система, система альвеол человека или животных.
История создания фракталов и их открытия
Первые примеры фракталов появились в XIX веке в результате изучения непрерывных функций одного уровня. Термин «фрактал» ввел Бенуа Мандельбротв 1975 году и получил широкую известность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы». Особую популярность фракталы обрели с развитием компьютерных технологий, позволивших эффектно визуализировать эти структуры.[1]
Лорен Карпентер был одним из первых, кто опробовал метод фракталов на практике. Всего за три дня работы Лорен смог визуализировать реалистичное изображение горной системы на своем компьютере. Иными словами, он с помощью формул нарисовал вполне узнаваемый горный пейзаж.
Принцип, который использовал Лорен для достижения цели, был очень прост. Он состоял в том, чтобы разделять более крупную геометрическую фигуру на мелкие элементы, а те, в свою очередь, делить на аналогичные фигуры меньшего размера.
Используя более крупные треугольники, Карпентер дробил их на четыре мелких и затем повторял эту процедуру снова и снова, пока у него не получался реалистичный горный ландшафт. Таким образом, ему удалось стать первым художником, применившим в компьютерной графике фрактальный алгоритм для построения изображений.[3]
Натан Коэн (Nathan Cohen) после посещения лекции Бенуа Мандельброта в Будапеште загорелся идеей практического применения полученных знаний. Будучи радиолюбителем, Натан стремился создать антенну, обладающую как можно более высокой чувствительностью (максимальный результат при минимальных размерах). Загоревшись идеей фрактальных форм, Коэн, что называется, наобум сделал из проволоки один из самых известных фракталов — «снежинку Коха».
После серии экспериментов будущий профессор Бостонского университета понял, что антенна, сделанная по фрактальному рисунку, имеет высокий КПД и покрывает гораздо более широкий частотный диапазон по сравнению с классическими решениями. Кроме того, форма антенны в виде кривой фрактала позволяет существенно уменьшить геометрические размеры. [3]
Алгоритм создания фракталов
Фрактал №1. Кривая КОХА
Создание при помощи графического редактораPaint.Кривая Коха — фрактальная кривая, описанная в 1904 году шведским математиком Хельге фон Кохом. Три копии кривой Коха, построенные (остриями наружу) на сторонах правильного треугольника, образуют замкнутую кривую бесконечной длины, называемую Снежинкой Коха.[1]
Кривая Коха является типичным геометрическим фракталом. Процесс её построения выглядит следующим образом:
Рисуем единичный отрезок Разделяем его на три равные части и заменяем средний интервал равносторонним треугольником без этого сегмента. В результате образуется ломаная, состоящая из четырёх звеньев длины 1/3. На следующем шаге повторяем операцию для каждого из четырёх получившихся звеньев и т. д… Предельная кривая и есть кривая Коха.
Фрактал №2. Дерево ПИФАГОРА
Создание с помощью программы PaintДеревоПифагора — разновидность фрактала, основанная на фигуре, известной как «Пифагоровы штаны».
Одним Пифагор, доказывая свою знаменитую теорему, построил фигуру, где на сторонах прямоугольного треугольника расположены квадраты. Впервые дерево Пифагора построил (1891—1961) во время Второй мировой войны, используя обычную чертёжную линейку. [4]
из свойств дерева Пифагора является то, что если площадь первого квадрата равна единице, то на каждом уровне сумма площадей квадратов тоже будет равна единице.
Дерево Пифагора является типичным геометрическим фракталом. Процесс её построения выглядит следующим образом:
1.Рисуем прямоугольный равнобедренный треугольник
2. Рисуем квадраты на сторонах треугольника
3. Рисуем на малых квадратах равнобедренные прямоугольные треугольники, так чтобы гипотенуза прилегала к верхней стороне квадрата
4. Рисуем квадраты на катетах малого треугольника
5. Повторяем пункты 3 и 4, уменьшая размеры квадрата и треугольника
Фрактал №3. Треугольник СЕРПИНСКОГО
Треугольник Серпинского — фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора, предложенный польским математиком Вацлавом Серпинским в 1915 году. Также известен как «решётка» или «салфетка» Серпинского.[5]
Треугольник Серпинского является типичным геометрическим фракталом. Процесс её построения выглядит следующим образом:
Рисуем равносторонний треугольник Делим его на четыре равные равносторонние треугольники Центральный треугольник не трогаем, а остальные три треугольника также делим на четыре равных треугольника Продолжаем алгоритм, соблюдая пункт 3
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В результате выполнения данной работы узнал, что такое фрактал и где применяют знания по фрактальной геометрии, а также изучил историю создания и открытия фракталов. Я тоже заинтересовался фрактальной геометрией и построил ряд геометрических фракталов (дерево Пифагора, снежинку Коха, треугольник Серпинского) с использованием ИКТ, записал для них алгоритм построения.
Подготовил рад заданий, которые можно использовать по математике, информатике и рисование.
Данную работу можно использовать на кружках и факультативах по математике и информатике.
ИСТОЧНИКИ
https://ru. wikipedia. org/wiki/%D0%A4%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%B0%D0%BB http://vovet. ru/q/chto-takoe-fraktaly-i-gde-oni-primenyayutsya-238.html https://gizmod. ru/2013/08/28/zagadochnyj-besporyadok-istoriya-fraktalov/ http://grafika. me/node/87 http://sch5.ru/sites/fraktals/tr-serp. htmФрактал №1. Кривая КОХА
Задание: Выполнить приведенный ниже алгоритм.
Рисуем единичный отрезок Разделяем его на три равные части и заменяем средний интервал равносторонним треугольником без этого сегмента. В результате образуется ломаная, состоящая из четырёх звеньев длины 1/3. На следующем шаге повторяем операцию для каждого из четырёх получившихся звеньев и т. д… Предельная кривая и есть кривая Коха.
Приложение
Фрактал №2. Дерево ПИФАГОРА
Задание: Выполнить приведенный ниже алгоритм.
1 .Рисуем прямоугольный равнобедренный треугольник
2. Рисуем квадраты на сторонах треугольника
3. Рисуем на малых квадратах равнобедренные прямоугольные треугольники, так чтобы гипотенуза прилегала к верхней стороне квадрата
4. Рисуем квадраты на катетах малого треугольника
5. Повторяем пункты 3 и 4, уменьшая размеры квадрата и треугольника
Фрактал №3. Треугольник СЕРПИНСКОГО
Задание: Выполнить приведенный ниже алгоритм
Рисуем равносторонний треугольник Делим его на четыре равные равносторонние треугольники Центральный треугольник не трогаем, а остальные три треугольника также делим на четыре равных треугольника Продолжаем алгоритм, соблюдая пункт 3
Приложение
Творческое задание
Задание: Самостоятельно составить алгоритм для следующих фракталов.
Фрактал №4. Обдуваемое ветром дерево Пифагора
Фрактал №5. Ковер СЕРПИНСКОГО.
