Справочник
по геометрии
Геометрия, 7 – 9: , ,
, ,
Набережные Челны
2016г
Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки называются концами отрезка. Луч — это часть прямой, ограниченная одной точкой. Эта точка называется началом луча Угол — это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Лучи называются сторонами угла, а точка — вершиной угла. Угол называется развёрнутым, если обе его стороны лежат на одной прямой.( Развёрнутый угол равен 180°).
Две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением. Середина отрезка — это точка отрезка, делящая его пополам, т. е. на два равных отрезка. Биссектриса угла — это луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла. Угол называется прямым, если он равен 90°. Угол называется острым, если он меньше 90° (т. е. меньше прямого угла). Угол называется тупым, если он больше 90°, но меньше 180°. (т. е. больше прямого, но меньше развёрнутого). Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой, называются смежными. Сумма смежных углов равна 180°. Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого. Вертикальные углы равны. Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными, если они образуют четыре прямых угла. Треугольник — это геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой и трех отрезков, соединяющих эти точки. Точки называются вершинами, а отрезки— сторонами треугольника. Если два треугольника равны, то элементы (т. е. стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника.1
НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?
В любой правильный многоугольник можно вписать окружность и притом только одну. Вписанная окружность касается сторон правильного многоугольника в их серединах. Центры окружностей вписанной в правильный многоугольник и описанной около него совпадают. Эта точка называется центром правильного многоугольника. Площадь правильного многоугольника:
Сторона правильного многоугольника: 
Радиус вписанной окружности: 
Для правильного треугольника: 
Для правильного четырехугольника (квадрата): 
Для правильного шестиугольника: 
Площадь кругового сектора: 
14
3) 
= 1800 – 
– 
и 
называется произведение длин этих векторов на косинус угла между ними: 
∙
= 
и 
выражается формулой: 
∙
= х1х2 + у1у2
и 
выражается формулой:
Свойства скалярного произведения векторов. Для любых векторов 
и любого числа k справедливы соотношения: 1) 
, причем 
при 
2) 
(переместительный закон)
3) 
(распределительный закон)
4) 
(сочетательный закон)
Около всякого правильного многоугольника можно описать окружность и притом только одну. 13
2
3
Найти: с, 
, 
Решение:
1) По теореме косинусов находим с: с2= а2+ b2 – 2аb∙cos C,
2) Пользуясь теоремой косинусов, получаем: 
3) 
= 1800 – 
– 
Дано: a, 
, 
Найти: с, b, 
,
Решение:
1)
= 1800 – 
– 
2) С помощью теоремы синусов вычисляем b и с: 
, 
Дано: a, b, с
Найти: 
, 
,
Решение:
1) Пользуясь теоремой косинусов, получаем: 
2) Пользуясь теоремой косинусов, получаем: 
12
Координаты суммы векторов равны сумме соответствующих координат этих векторов Координаты разности векторов равны разности соответствующих координат этих векторов Координаты произведения вектора на число равны произведению соответствующих координат вектора на это число. Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала. Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.
, 
; d =
Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её боковых сторон. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. Уравнение окружности: (х – х0)І + (у – у0)І = rІ (х0;у0) – центр окружности, r – радиус окружности
Уравнение прямой: ах + bу + с = 0 Формулы приведения:sin(900 – б) = cos б, cos(900 – б) = sin б при 
sin(1800 – б) = sin б; cos(1800 – б) = – cos б при 
. (Площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синус угла между ними). Теорема синусов: Стороны треугольника пропорциональны синусам противоположных углов. 
Теорема синусов: Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. а2 = b2 + с2 – 2bc cosA Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними. Дано: a, b, 
11
Теоремой, обратной данной, называется такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением – условие данной теоремы. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°. Сумма углов треугольника равна 180°.(Теорема о сумме углов треугольника) Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь углом этого треугольника. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним. Если все три угла треугольника острые, то треугольник называется остроугольным. Если один из углов треугольника тупой, то треугольник называется тупоугольным. Если один из углов треугольника прямой, то треугольник называется прямоугольным. Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой, а две стороны, образующие прямой угол — катетами. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно, против большего угла лежит большая сторона. (Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника) В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. (Неравенство треугольника) Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. (Свойство прямоугольного треугольника) Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. (Свойство прямоугольного треугольника) Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°. (Свойство прямоугольного треугольника)4
Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны. (Признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам) Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему острому углу другого, то такие треугольники равны. (Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и острому углу) Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны. (Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу) Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны. (Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету) Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, проведённого из этой точки к прямой. Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой. (Свойство параллельных прямых) Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой.Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны. (Свойство параллелограмма) Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. (Свойство параллелограмма) Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм. (Признак параллелограмма) Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм. (Признак параллелограмма) Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм. (Признак параллелограмма)
5
называется противоположным вектору 
, если 
и 
имеют равные длины и противоположно направлены. Для любых векторов 
, 
справедливы равенства: 
+ 
= 
+ 
(переместительный закон)
(
+
) +
=
+(
+
) (сочетательный закон)
и 
называется такой вектор, сумма которого с вектором 
равна вектору 
. Для любых векторов 
и 
справедливо равенство 
- 
= 
+ (-
). Произведением ненулевого вектора 
на число k называется такой вектор 
, длина которого равна вектору 
, причем векторы 
и 
сонаправлены при k ≥ 0 и противоположно направлены при k < 0. Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор. Произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор. Для любого числа k и любого вектора 
векторы 
и k
коллинеарные. Для любых чисел k, n и любых векторов 
, 
справедливы равенства: (kn) 
= k (n
) (сочетательный закон)
(k + n) 
= k
+ n
(первый распределительный закон)
k(
+
) = k 
+ k
(второй распределительный закон)
10
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность – прямой. Если хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон. Каждая точка, лежащая внутри угла и равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярная к нему. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник – описанным около окружности. В любой треугольник можно вписать окружность. В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны. Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность. Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник – вписанным в эту окружность. Около любого треугольника можно описать окружность. В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 1800. Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 1800, то около него можно описать окружность.Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой - концом, называется направленным отрезком или вектором. Длиной или модулем ненулевого вектора АВ называется длина отрезка АВ
9
Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а две другие стороны – боковыми сторонами Трапеция называется равнобедренной, если её боковые стороны равны Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной, Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки. (Теорема Фалеса) Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые. Диагонали прямоугольника равны. (Свойство прямоугольника) Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник. (Признак прямоугольника) Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам. (Свойство ромба) Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны. Все углы квадрата прямые. (Свойство квадрата) Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам. (Свойство квадрата) S = a2, где a – сторона квадрата. (Площадь квадрата равна квадрату его стороны) S = ab, где a, b – смежные стороны прямоугольника. (Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон). S = aha, где a – сторона параллелограмма, ha – высота, проведенная к стороне a. (Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту). S =
aha, где a – сторона треугольника, ha – высота, проведенная к стороне a. (Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту) Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Если высоты двух треугольников равны, то площади относятся как основания. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы. 6
S =
(a + b)∙h, где a, b –основания трапеции, h – высота трапеции. (Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований
на высоту).
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. (Теорема Пифагора) Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный. (Теорема, обратная теореме Пифагора). Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого. Число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников, называется коэффициентом подобия.
, отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны. (Первый признак подобия треугольников) Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углу, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны. (Второй признак подобия треугольников) Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны. (Третий признак подобия треугольников) Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка, заключенного между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла. 7
300 | 450 | 600 | |
sin |
|
|
|
cos |
|
|
|
tg |
| 1 |
|
Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности (d<r), то прямая и окружность пересекаются. В этом случае прямая называется секущей по отношению к окружности. Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности (d=r), то прямая и окружность имеют только одну общую точку. В этом случае прямая называется касательной к окружности, общая точка называется точкой касания прямой и окружности. Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности (d<r), то прямая и окружность не имеют общих точек. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания. (Свойство касательной к окружности) Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной. Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
8
