Различные методы решения систем уравнений (стр. 2 )

5

3.2  Метод алгебраических действий

3.2.1 Метод алгебраического сложения уравнений основан на том, что если к обеим частям одного из уравнений системы прибавить соответствующие части другого уравнения, умноженные на одно и то же число, а другое уравнение оставить без изменения, то получим систему, равносильную данной. Обычно с помощью этого метода получают систему, к которой затем применяют метод подстановки.

Пример.

Решим систему 

Решение. Если вычесть второе уравнение из первого, получим – 2x – 3y = – 11, т. е.

2x + 3y = 11. Значит, надо решить систему уравнений 

Из первого уравнения находим, что x =.

Подставляя x во второе уравнение, получаем  + y2 = 10,

откуда 121 – 66y + 9y2 + 4y2 = 40, т. е. 13y2 – 66y + 81 = 0.

Корнями этого квадратного уравнения являются .

Если  то из  x =  находим

Если  ,  то .

Ответ: , или , .

3.2.2 Метод почленного умножения и деления уравнений системы рассмотрим на конкретном примере.

Пример.

Решим систему

Решение. Разделим почленно первое уравнение на второе, получим

;  ;  ; ; 

Ответ: (2 ; 1)

Задания для самостоятельного решения

  2.

3.   4.

5..

3.3  Метод замены переменной также рассмотрим на конкретном примере.

Пример.

Решим систему  .

Решение. Пусть ,  тогда ; .

Получаем:

; .

Возвращаясь к переменным x и y, получаем:  .

б) .

в) .

г) .

Ответ: (1,5 ; -0,5); (0 ; 1); (3 ; 1); (1,5; 2,5)

Задания для самостоятельного решения

  2. 

  4.

5.

СИММЕТРИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

Обозначим многочлен от переменных x и y через P(x, y). Тогда P(y, x) обозначает многочлен, получаемый заменой в P(x, y) переменной х на y, а y на x.

Например, если P(x, y) = 6х4 –3x3y + 7xy3 + 8y4 , то P(y, x) = 6y4 –3y3x + 7yx3 + 8х4.

Если выполняется равенство P(x, y) = Р(y, x), то есть многочлен остается неизменным после замены х на у, а у на х, то многочлен P(x, y) называют симметрическим.

Например, симметрическими являются многочлены х + у  и  ху.

При решении систем уравнений вида , где и -  симметрические многочлены, используется замена неизвестных: х + у = u, ху = v.

Пример.

Решим систему