Заметим, что 
– однородное уравнение и у = 0 не входит в решение системы.
Разделим первое уравнение на у2. Получим: 
Введем новую переменную u = 
и найдем корни квадратного уравнения
u2 – 3u + 2 = 0. Получим 
Значит, либо 
либо 
.
Подставляя у = 2х и у = х поочередно во второе уравнение системы, получаем совокупность уравнений 5х2 = 10 и 2х2 = 10.
Решая уравнение 5х2 = 10, находим 
Подставляя найденные значения в выражение у = 2х, получаем 
Решая уравнение 2х2 = 10 и подставляя результаты в выражение у = х, находим 
, 
, 
Таким образом, решением первой системы является:
Решая вторую систему, выразим из первого уравнения у. Получим у = х.
Так как этот случай уже рассмотрен, то решением исходной системы будет множество пар (
; (
;(
);(
).
Ответ: (
; (
; (
); (
).
Задания для самостоятельного решения
2.
3.
4.
5.
КОМБИНИРОВАННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
Комбинированный метод решения систем основан на использовании нескольких методов на разных этапах решения систем.
Пример.
Решим систему 
Решение. 
Пусть 
. Тогда 
; 
;
; 
;
; (1 ; 1); (-1 ; -1) б) 
; ( 0;
); (0 ; -
.
Ответ: (1 ; 1); (-1 ; -1); (0 ;
); (0 ; -
.
Задания для самостоятельного решения
2. 
4.
5. 
ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
Системы нелинейных уравнений с двумя неизвестными можно решить графически. Для этого нужно начертить графики обоих уравнений и найти координаты точек их пересечения. Будем считать известными уравнения:
а) прямой: ах + by + c = 0
б) параболы: y = x2 + bx + c
в) окружности: (х – а)2 + (у – b)2 = R2
г) гиперболы: ху = k
Пример.
Решим систему 
Решение. Выделяя полные квадраты, получаем
= (х2 – 2х + 1) + (у2 + 4у + 4) – 1 – 4 – 20 = (х – 1)2 + (у + 2)2 – 25.
Значит, систему уравнений можно записать так: 
Графиком первого уравнения является окружность с центром А(1 ; - 2) и радиусом 5. 2х – у = –1 – уравнение прямой, проходящей через точки В(0;1) и С (2;5). Строим окружность радиусом 5 с центром в точке А и проводим прямую через точки В и С. Эти линии пересекаются в двух точках М(1;3) и N(-3; -5). Значит, решением системы уравнений являются
| |
Ответ: (1;3); (-3; -5).
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 |
