Решение. Запишем систему в виде 
Пусть х + у = u, ху = v.
Тогда относительно u и v система примет вид 
.
Решив эту систему способом подстановки, найдем 
Соответствующие значения v найдем из формулы v = 11 – u.
Тогда 
Осталось решить системы уравнений 
.
Первая система имеет решения (2 ; 3) и (3 ; 2). А вторая не имеет решений.
Ответ: (2 ; 3) и (3 ; 2).
Задания для самостоятельного решения
2.
3.
4.
5.
СИСТЕМЫ, СОДЕРЖАЩИЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ
5.1. Системы уравнений, одно из которых однородно
Многочлен Р(х, у) называется однородным многочленом n-ой степени, если все его члены имеют n-ю степень.
Уравнение Р(х, у) = 0 называется однородным уравнением n-ой степени, если Р(х, у) – однородный многочлен n-ой степени.
Пример.
Решим систему 
Решение. Первое уравнение этой системы является однородным степени 2.
Так как х = 0 ни при каком значении у не входит в решение системы, то разделим обе части первого уравнения на 
и введем новую переменную 
Получим квадратное уравнение 2 – 3u + 
= 0. Корни этого уравнения 
,
т. е. 
= 1 или 
Теперь нужно решить совокупность двух систем 
Первая система несовместна, так как при подстановке выражения у = х во второе уравнение получим 0 = 12.
Решая вторую систему, подставим выражение у = 2х во второе уравнение.
Получим 4х2 – х2 = 12 или х2 = 4. Отсюда находим 
.
Так как у = 2х, то 
.
Ответ: (2 ; 4) ; (-2 ; - 4).
5.2. Системы уравнений с однородной левой частью
В некоторых системах оба уравнения не являются однородными, но, применив метод алгебраического сложения, удается перейти к равносильной системе, одно из уравнений которой является однородным.
Пример 1.
Решим систему 
Решение. Ни одно из уравнений не является однородным. Действительно, в первом уравнении члены 
и ху имеют степень 2, а -12 имеет нулевую степень. По той же причине не является однородным и второе уравнение. Но если умножить первое уравнение на 7, а второе на 3 и затем их сложить, то получим однородное уравнение 7у2 – 10ху + 3х2 = 0. Решая теперь систему уравнений 
, находим решение исходной системы: 
,
или 
, 
.
Ответ: (7; 3) ; (-7; -3)
Пример 2.
Рассмотрим систему уравнений 
Левая часть каждого из уравнений этой системы – однородный многочлен второй степени. Умножив обе части первого уравнения на -2 и заменив любое из уравнений системы (например, первое) полученной суммой уравнений, получим систему 
, одно из уравнений которой однородно.
Задания для самостоятельного решения
1.
2.
3. 
4.
5.
МЕТОД РАЗЛОЖЕНИЯ НА МНОЖИТЕЛИ
Метод разложения на множители основан на том, что если выражения 
и 
определены для всех значений переменных х и у, то система уравнений
равносильна совокупности систем 
и 
Пример.
Решим систему 
Решение. Система равносильна совокупности двух систем
и 
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 |
