Различные методы решения систем уравнений (стр. 1 )

Учебное пособие

«Различные методы решения систем уравнений»

для учащихся 8-9 классов

(автор-составитель: )

Санкт-Петербург

2017

Оглавление

Введение ……………………………………………………………………………...	3
Основные понятия …………………………………………………………………...	3
Основные методы решения систем уравнений ……………………………………	4
Симметрические системы уравнений ……………………………………………...	7
Системы, содержащие однородные уравнения ……………………………………	8
Метод разложения на множители ………………………………………………….	9
Комбинированный метод решения систем уравнений ……………………………	10
Графический метод решения систем уравнения …………………………………..	11
Системы уравнений в материалах ОГЭ ……………………………………………	12
Дополнительная литература и источники …………………………………………	13
Ответы к заданиям для самостоятельного решения …. …………………………..	14

ВВЕДЕНИЕ

Система уравнений является одним из основных понятий в курсе школьной алгебры. Можно рассматривать системы линейных уравнений с двумя переменными (уравнений первой степени), системы нелинейных уравнений (второй и выше степеней) и другие. Решение некоторых текстовых задач приводит к решению систем двух и более уравнений. Существуют различные методы решения систем, но только некоторые из них представлены в школьном учебнике.

Данное учебное пособие «Различные методы решения систем уравнений» адресовано учащимся 8-9 классов. В пособии представлен необходимый теоретический материал, рассмотрены примеры решения систем уравнений различными методами. К каждому методу приведены задания для самостоятельного решения и ответы к ним.

Отдельный раздел пособия посвящен заданиям на решение систем уравнений ОГЭ по математике в 9 классе (часть 2, задания №21). В нем рассмотрены системы уравнений из Открытого банка заданий ОГЭ по математике (сайт Федерального института педагогических измерений), пособия «ОГЭ 2016. Математика. Типовые экзаменационные варианты» (под редакцией ), с сайта «Решу ОГЭ» (обучающая система ), тренировочных и диагностических работ СтатГрада.

Анализ заданий ОГЭ и контрольно-измерительных материалов показал, что на экзамене в 9 классе во второй части в основном предлагаются системы уравнений, решаемые методами подстановки и алгебраических действий. Также встречаются задания, которые удобно решать, используя методы замены переменной и разложения на множители, а более сложные системы уравнений – комбинированным методом.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Если рассматривают два уравнения с двумя переменными и ставится задача найти все пары чисел (а;b), таких, что при подстановке их в эти уравнения получаются верные числовые равенства, то говорят, что задана система уравнений.

Систему уравнений    и  записывают в виде:

Решить систему уравнений — значит найти множество всех пар чисел (а; b), таких, что при подстановке числа а вместо х и числа b вместо у получаются верные числовые равенства. Такие пары чи­сел (а; b) называются решением системы уравнений. Если множество решений системы уравнений — пустое множество, то ее на­зывают несовместной.

Аналогично можно определить систему уравнений с тремя и большим числом переменных. Будем рассматривать системы, у которых число уравнений равно числу переменных.

Две системы уравнений называются равносильными, если множества их решений совпадают.

В частности, если обе системы несовместны (не имеют решений), то их также счита­ют равносильными.

При решении систем уравнений их заменяют более простыми, равносильными им системами. Так же как и при решении уравне­ний, в процессе решения систем уравнений важно знать, при каких преобразованиях данная система переходит в равносильную ей сис­тему уравнений.

При этом можно использовать следующие утверждения о равносильности систем уравнений:

если одно из уравнений системы заменить на равносильное уравнение, то получим систему, равносильную исходной; если одно из уравнений системы заменить суммой каких-либо двух уравнений данной системы, то получим систему, равносильную исходной; если одно из уравнений системы выражает зависимость какой-либо переменной, например х, через другие переменные, то, заменив в каждом уравнении системы переменную х на ее выражение через другие переменные, получим систему, равносильную исходной.

В частности, можно выполнять перенос членов уравнения из одной части в другую с изменением знака и умножение обеих частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число.

Выделяют аналитический и графический методы решения систем уравнений.

Основными средствами аналитического решения системы являются метод подстановки, метод введения новых переменных (замены переменной), метод алгебраических действий (сложения, умножения).

Для графического решения системы двух уравнений с двумя переменными надо построить в одной системе координат графики обоих уравнений и найти координаты точек пересечения этих графиков.

В работе рассмотрим также некоторые особые виды систем уравнений и способы их решения: симметрические системы уравнений, системы, содержащие однородные уравнения, метод разложения на множители.

ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ

Основными методами решения систем уравнений являются метод подстановки, метод алгебраических действий и метод замены переменной.

Метод подстановки  или исключения неизвестного основан на том, что если из  одного  уравнения  системы  выразить  одну  переменную  через  другую  (например, y = f(x)) или подставить полученное выражение во второе уравнение, то системы

    и   

Решение последней системы сводится к решению уравнения = 0 с одной переменной x. Подставляя затем найденные x в уравнение y = f(x), находим соответствующие значения y.

Этот метод особенно удобен, если в одно из уравнений системы какая-нибудь переменная входит в первой степени.

Пример.

Решим систему

Решение. Из первого уравнения находим y = 4 – 2. Подставляя это значение во второе уравнение, получаем 4 – 22 = 16.

Приведя это уравнение к стандартному виду, получим биквадратное уравнение

5x4 – 16x2 = 0 или х2(5х2 – 16) = 0.

Решая его, находим = 0, 

Подставляя найденные значения x в выражение y = 4 – 2,

находим

Ответ: (0; 4); (

Задания для самостоятельного решения

12.

34.