Логарифма и логарифмической функции (стр. 2 )

  Опр.1. Говорят, что линия растет равномерно, когда описывающая ее точка проходит в равные моменты равные промежутки.

  Опр.2. Говорят, что линия сокращается пропорционально, когда пробегающая по ней точка в равные моменты отсекает отрезки, сохраняющие постоянно одно и то же отношение к тем линиям, от которых они отсекаются.

  Опр.3. Говорят, что количества иррациональные, или невыразимые числом, определяются большими числами, отличающимися от истинных значений иррациональных количеств меньше, чем на единицу.

  Опр.4. Синхронными движениями называют те, которые происходят вместе и в течение одного и того же времени.[19,c. 59-60]

  Но таблицы Непера, приспособленные к тригонометрическим вычислениям, были неудобны для действий с данными числами. Во-первых, таблицы были расположены по значениям синусов от 0 до и косинусов, а не по натуральному ряду чисел. Во-вторых, при действиях с числами по таблице Непера приходилось ещё оперировать с (). Чтобы устранить эти недостатки, Непер предложил составить таблицы логарифмов, приняв за логарифм единицы нуль, а за логарифм десяти , или, что сводится к тому же, просто единицу. Это предложение он сделал входе обсуждения с посетившем его профессором математики Грешем Колледжа в Лондоне Генри Бригсом, который и сам задумывался, как усовершенствовать таблицы логарифмов. Заняться осуществлением своего плана Непер не мог из-за пошатнувшегося здоровья, но указал идею двух вычислительных приёмов, развитых далее Бригсом. Бригс опубликовал первые результаты своих кропотливых вычислений – «Первую тысячу логарифмов» в год смерти Непера. Здесь даны были десятичные логарифмы чисел от  1 до 1000 с четырнадцатью знаками. Позднее, будучи профессором в Оксфорде, он выпустил «Логарифмическую арифметику», содержащую 14-значные таблицы логарифмов целых чисел от 1 до 20 000 и от 90 000 до 100 000, а также он опубликовал несколько статей, разъясняющих методы вычисления таблиц и употребления  логарифмов. [28,c. 64]        

1.3. Определение логарифма как площади криволинейной трапеции (Г. Сен Венсан, П. Ферма, В. Броункер, П. Менголи).

  Во второй трети XVII в. Григорий Сен Венсан (1584-1667)  показал, что если абсциссы любых двух точек А и В на гиперболе соответственно пропорциональны абсциссам точек А1 и В2  на той же кривой, то площади криволинейных четырехугольников, расположенных под отрезками гиперболы АВ и А1В1, равны.

  Это предложение эквивалентно следующему: площадь под гиперболой где  , равна .[26, c. 44]

  Численно и притом в форме бесконечного ряда эту связь выразил не позднее 1657г. В. Броункер, опубликовавший свой результат

в статье «Квадратура гиперболы с помощью бесконечного ряда рациональных чисел».

  Впрочем, в публикации этого разложения его опередил итальянский математик  Пьетро Менголи (1625-1686гг.). Труды Менголи в теории рядов заслуживают очень высокой оценки, хотя и не привлекли, отчасти из-за трудного изложения, должного внимания большинства современников.

  В «Новых арифметических квадратурах или о сложении дробей П. Менголи просуммировал некоторые числовые ряды вроде

    и независимо от Орема доказал расходимость гармонического ряда , применяя неравенство

Этот результат Менголи распространил на обобщенные гармонические ряды, члены которых обратны членам арифметической прогрессии, т. е. ряды . Частные суммы гармонического ряда он применил к изучению логарифмов. [19, c. 160]

1.4. Трактовка логарифмической функции в форме бесконечного ряда  (Н. Кауфман, И. Ньютон)

  Возникновение аналитического аппарата бесконечно малых в конце 17в. позволило осуществить переход от геометрической трактовки логарифмической функции к ее представлению в форме бесконечного степенного ряда:

,  (3)

т. е. было получено аналитическое представление логарифмической функции.[26, c. 44]

Исаак Ньютон (1643-1727) в сочинении «Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов» (1711), применяя методы неопределенных коэффициентов и последовательных приближений, произвел обращение ряда (3) и получил аналитическое выражение показательной функции:

Таким образом, Ньютон дал трактовку показательной функции как обратной к логарифмической функции.[26, c. 45]  Следующим шагом в исследовании логарифмической функции явилось ее представление в форме бесконечного степенного ряда. Этот важный шаг сделал  проживавший в то время в Лондоне немецкий любитель математики, член Королевского общества Николай Кауфман (1620-1687) более известный под именем Меркатора. Свое исследование Меркатор опубликовал в «Логарифмотехнике» почти одновременно с появлением статьи Броункера. Но два эти труда, посвященные одной цели – вычислению логарифмов, резко отличались по методу. Уступая Броункеру в строгости изложения, Меркатор значительно превзошел его в общности приема и результата. Счастливым образом,  перейдя от равносторонней гиперболы , отнесенной к обеим асимптотам, к смещенной гиперболе , он применил к дроби обычное деление по правилам алгебры, продолжающееся в данном случае без конца

Затем почленным интегрированием он нашел, что

  Меркатор не первый пришел к разложению логарифмической функции в степенной ряд. К тому же результату пришли Гудде в 1656г. и Ньютон в 1665г., но оба хранили его при себе. Значение публикации «Логарифмотехники» оказалось, поэтому очень велико. Валлис откликнулся рецензией, выразив восхищение открытием Меркатора, он указал, что пользоваться рядом при  нельзя, и одновременно дал разложение

[19, c. 163-164]

1.5. Теория логарифмической функции в сочинениях Л. Эйлера.

  Леонард Эйлер (1707-1783гг.) исследовал логарифмическую функцию, которую он определял как обратную для показательной.  «Логарифмом любого числа y будет показатель степени , так что сама степень будет равна числу у. Итак, если , то , причем рассматривается логарифм с основанием .