Логарифма и логарифмической функции (стр. 3 )

Используя свойства  показательной функции, Эйлер за­ключает, что «логарифмы чисел, больших, чем единица, будут положительны; логарифмы чисел, меньших, чем единица, од­нако положительных, не будут действительными, но будут мнимыми». Следует отметить, что под «мни­мыми» здесь Эйлер понимает комплексные числа, хотя в са­мом тексте «Введения» об этом явно нигде не говорится. Ос­новные положения о логарифмической функции в комплекс­ной области Эйлер изложил в письме к Даламберу от 15 апре­ля 1747 г., а 7 сентября того же года он представил Берлин­ской академии статью «О логарифмах отрицательных и мни­мых чисел» и в 1749 г. опубликовал свои результаты в статье «О споре между гг. Лейбницем и И.  Бернулли о логарифмах отрицательных и мнимых чисел». Включить этот новый мате­риал в уже печатавшееся «Введение» было поздно. Далее в главе VI «Введения» из определения логарифма и свойств по­казательной функции выводятся свойства логарифмической функции и, в частности, правила арифметических действий над ними: если , то ; «если найдены два лога­рифма, например и lv= х, то так как и , бу­дем иметь ;подобным же образом будет
»[38,c.104]

  Используя эти правила, Эйлер показывает способ, кото­рым могут быть вычислены обычные таблицы логарифмы. Для демонстрации практической важности показательной и логарифмической функций Эйлер приводит в конце главы VI ряд задач, которые решаются с их применением.

  В главе VII («О выражении показательных к логарифми­ческих количеств при помощи рядов») Эйлер, применяя фор­мулу бинома Ньютона, выводит разложение показательной и логарифмической функций в степенные ряды:

,  (4)

  (5)

и отмечает, что ряд (5) сходится, «если вместо x подставить очень малую дробь». Из ряда (5) легко находятся логарифмы чисел, не намного превышающих единицу.  В этой же главе приведено и другое разложение:

  ,  (6)

которое пригодно для вычисления логарифма любого положительного числа , так как здесь выражение по абсолютной величине меньше единицы, а следовательно, ряд (6) сходится. Но Эйлер применяет ряд (6) только для вычисления логарифмов чисел от 0 до 2 и утверждает, что логарифмы остальных действительных чисел могут быть найдены из логарифмов этих дробей.

  Исходя из этого, можно утверждать, что у Эйлера вопрос о сходимости указанных рядов здесь остался открытым.

  Таким образом, в 30-40-е гг. XVIII в. Эйлер построил стройную теорию логарифмической функции, причем отправным пунктом этой теории служит определение логарифма как функции, обратной показательной. Такой подход позволил Эйлеру аналитически продолжить логарифмическую функцию в комплексную область. В этом же вопросе им был получен ряд важных результатов. Определение логарифмической функции, данное Эйлером, получило общее признание лишь в XIX в., а в настоящее время вошло во все учебники математического анализа.[22,c. 48-49]

1.6. Логарифмическая линейка.

  Если мы возьмём две обыкновенных  миллиметровых линейки длиной, например, по 30 сантиметров, то без труда получим прибор для механического производства сложения и вычитания  целых чисел не выше 300 при условии, что результат действия не превосходит этой границы. Расположим линейки, как показано на рисунке:

Чтобы к 2,5 см прибавить число а, приложим нижнюю линейку к 2,5 и отсчитаем на ней число а, результат увидим на верхней линейке.

Например, 2,5 + 6,2 = 8,7.  Далее, если требуется, например, из 8,2 вычесть число 3,7, нужно на верхней шкале найти клетку 8,2, а на нижней 3,7 и совместить их, тогда клетка на верхней шкале, лежащая противоположно, даст искомый результат 8,2 – 3,7 = 4,5.  Возможность выполнять действия сложение и вычитание при рассматриваемом расположении  линеек основана на факте, что разность двух противостоящих меток наших шкал имеет при этом их расположении постоянное значение.  Действие вычитание можно осуществить и другим способом: если совместить линейки, как указано на рисунке:

  Например, 7,3 – 5,9 = 1,4. Развитие идеи сопоставления двух шкал к ряду других форм счетной линейки, одна из которых носит название счетной логарифмической линейки. В счетной метрической линейке мы имели две метрических шкалы, где расстояние каждой точки от начала шкалы, выраженное в определённых единицах длины, численно равнялось метке той точки. Если, сохраняя метки штрихов, передвинуть сами штрихи так, чтобы расстояние каждого штриха от начала шкалы, выраженное в определённых единицах длины, стало равно логарифму соответственной метки, то получим логарифмическую шкалу. Взяв за единицу длины, например, дециметр, и пользуясь обыкновенными (десятичными) логарифмами, мы должны будем штрих с меткой 1 поставить туда, где в метрической шкале стояла метка 0, так как lg1 = 0; штрих с меткой 2 поставили на расстоянии 0,3012 дм = 3,01 см, так как lg2 = 0,3010; штрих с меткой 3 – на расстоянии 0,477 дм = 4,77 см, так как lg3 = 0,4771; штрих с меткой 10 окажется на расстоянии 1 дм = 10 см от начала, так как lg10 = 1, т. е. окажется на прежнем месте. Операция эта проделывается со всеми числами метрической шкалы.

  Видна характерная особенность логарифмической шкалы: промежутки между штрихами, имеющие штрихи 1, 2, 3 и т. д., постепенно уменьшаются. Происходит это потому, что логарифмическая функция возрастает при росте аргумента всё медленнее. Сдвигая одну из шкал относительно другой так, чтобы её начало, т. е. точка с отметкой 1, оказалась против метки 2 другой шкалы, ты увидишь, что против каждой метки а, нижней шкалы, теперь находится метка b = 2а верхней шкалы. Мы, таким образом, выполнили умножение любого числа (в пределах шкалы на 2).

Вообще, установив метку 1, нижней шкалы, против метки а, верхней шкалы мы  найдём метку  c = аb верхней шкалы против метки b нижней шкалы. Легко понять, почему это так. Длина отрезка верхней шкалы от начала до метки а равна lg a. Сюда прибавляется длина отрезка нижней шкалы от её начала до метки b, равна логарифму b, т. е. lg b. На верхней шкале, следовательно, мы имеем от начала до метки c, противостоящей метке b нижней шкалы, сумму отрезков lg a + lg b = lg ba  lg c = lg ba  c = bа.  Чтобы разделить одно число на другое, например, 28 на 7, найдём на верхней шкале метку 28 и установим против неё метку 7 на нижней шкале, тогда напротив метки 1 (нижней шкалы) ты увидишь результат 4. Объясняется это тем, что lg 28 – lg 7 = lg  . Следовательно,  28 : 7 = 4. 

lg a -  lg b = lg c  lg a : b = lg c  c = а : b. 

Изобретение логарифмической линейки связано с именами двух англичан, живших в эпоху изобретения логарифмов: Hunter`а, впервые построившего логарифмическую шкалу и  Wingate` а указавшего  принцип линейки.[25, c.7-9]  Логарифмическая линейка долгие годы оставалась самым массовым и доступным прибором индивидуального вычисления, несмотря на бурное развитие вычислительных машин. Естественно, она обладала небольшой точностью и скоростью решения по сравнению с вычислительными машинами, однако, на практике большинство исходных данных были не точные, а приближенные величины, определенные с той или иной степенью точности. А, как известно, результаты вычислений с приближенными числами будут всегда приближенные. Этот факт и высокая стоимость вычислительной техники позволили логарифмической линейке просуществовать практически до конца 20 столетия. Рассмотрим логарифмические линейки, используемые во второй половине 20 века в России. Стандартная логарифмическая линейка состояла из трех, покрытых белым целлулоидом, частей: корпуса (M, N), движка (Q) и бегунка (Б). На корпусе линейки наносилось шесть шкал длиной по 25 см каждая. Длина шкалы в 25 см позволяла получить результаты с точностью до четырех значащих цифр с ошибкой, не превосходящей единицы последнего знака. На движке так же было нанесено шесть неравномерных шкал длиной 25 см, по три с лицевой и обратной сторон.