Логарифма и логарифмической функции (стр. 1 )

Содержание

Введение............................................................................................................................4

Глава 1. История вопроса формирования логарифма и  логарифмической функции…………………………………………………………..6  1.1. Формирование идеи логарифмической зависимости на основе сравнения арифметической и геометрической прогрессий (Архимед, Н. Орем, Н. Шюке, М. Штифель, С. Стевин, И. Бюрги)………………………………………………………..6  1.2. Введение логарифмической зависимости у Дж. Непера. Первые таблицы логарифмов (Г. Бригс)……………………………….……………………………….....8  1.3. Определение логарифма как площади криволинейной трапеции (Г. Сен Венсан, П. Ферма, В. Броункер, П. Менголи)……………………………………………….....9  1.4. Трактовка логарифмической функции в форме бесконечного ряда  (Н. Кауфман, И. Ньютон)……………………………………………………………………………...11  1.5. Теория логарифмической функции в сочинениях Л. Эйлера ………………….12 1.6. Логарифмическая линейка ……………………………………………………….14 

Глава 2. Изучение логарифма и логарифмической функции в курсе математики средней школы........................................................................................28

1. Общие понятия введения логарифма и логарифмической функции в средней школе  ..............................................................................................................................28  1.1. Обобщение понятия о показателе степени и показательная функция……….....28

1.2. Определение логарифма. Логарифм как функция обратная по отношению к показательной. Общие свойства логарифмов……………….…..................................38  1.3. Десятичные и натуральные логарифмы………………………….…....................41  1.4. Таблица логарифмов…………………………………………………....................44 1.5. Практика вычислений с логарифмами…………………………….......................44

2. Сравнительный анализ введения понятий логарифма и логарифмической функции в учебниках 10 - 11 классов (, , ).....................................................55  2.1. «Алгебра и начала анализа» 10 – 11 классы..............................55  2.2. «Алгебра и математический анализ» 11 класс...........................57  2.3. «Алгебра и начала анализа» 11 класс.......................................58 2.4. Статья «Вариант построения логарифмической и показательной функции»………………………………………………………......................................59  2.5. «Алгебра» 8 – 10 класс………………………………....................61  3. Конспекты уроков....................................................................................................64  3.1. Конспект урока по математике в 11 классе (учебник )….......64  3.2. Конспект урока по математике в 10 классе (учебник )…….......65

Заключение……………………………………………………………….....................70

Литература..................................................……………………………………………74

Введение

Незаменимым инструментом для вычислений, начиная от многозначных таблиц в руках астронома и заканчивая счётной линейкой в руках техника или мастера, являются логарифмы. Логарифмы возникли в арифметике в силу практической необходимости преодоления вычислительных трудностей. Теоретическая подготовка учения о логарифмах уходит корнями в далёкое прошлое. Поэтому история формирования этого учения представляет несомненный интерес. [1, c. 7] В школьном курсе «Алгебра и начала анализа» учащиеся систематически изучают показательную и логарифмическую функции и их свойства, тождественные преобразования логарифмических и показательных выражений и их применение к решению соответствующих уравнений и неравенств, знакомятся с основными понятиями, утверждениями.

В программу входит рассмотрение и изучение следующих вопросов:

Понятие о степени с рациональным показателем. Решение иррациональных уравнений. Показательная функция, её свойства и график. тождественные преобразования показательных выражений. Решение показательных уравнений и неравенств. Логарифм числа. Основные свойства логарифмов. Логарифмическая функция, её свойства и график. Решение логарифмических уравнений и неравенств. Производная показательной функции. Число и натуральный логарифм. Производная степенной функции.

Основная цель раздела изучения показательной и логарифмической функции состоит в ознакомлении  учащихся с показательной, логарифмической и степенной функцией и в том, чтобы  научить их решать показательные и логарифмические уравнения и неравенства.

Цель данной работы: рассмотреть основные исторические моменты появления логарифма и логарифмической функции и показать различные подходы к определению этих понятий, а также провести сравнительный анализ введения понятий логарифма и логарифмической функции в учебниках разных авторов для общеобразовательных учреждений.

Для этой цели были решены следующие задачи:

1.  Проанализирована научная и методическая литература по данной проблеме;

2. Установлены истоки появления понятия логарифма и логарифмической функции, а также их развитие в математике;

3. Описано устройство логарифмической линейки и приведены примеры её применения.  4. Определение понятия показателя степени, логарифма, показательной и логарифмической функции;  5. Изучение свойства логарифмов;  6. Проведен сравнительный анализ введения понятий логарифма и логарифмической функции в учебниках разных авторов для общеобразовательных учреждений;  7. Разработаны планы двух уроков по математике в 10 и 11 классах. 

Объектом исследования является логарифмическая функция.  Предмет исследования - различные подходы к определению понятий логарифма и логарифмической функции.

Метод, применявшийся в исследовании история вопроса формирования логарифма  и логарифмической функции, основан на историко-научном и методическом анализе соответствующей литературы. [31, с. 10]

Методы исследования в  изучении логарифма и логарифмической функции в курсе математики средней школы: анализ, сравнение, индукция, дедукция, обобщение.

Основными понятиями в нашей работе являются логарифм и логарифмическая функция.

Глава1. История вопроса формирования понятия логарифма и логарифмической функции.

1.1. Формирование идеи логарифмической зависимости на основе сравнения арифметической и геометрической прогрессий (Архимед, Н. Орем, Н. Шюке, М. Штифель, С. Стевин, И. Бюрги).

  В чисто аналитической форме учение о логарифмической функции впервые было изложено в работах Леонарда Эйлера (1707-1783). Само же понятие логарифма воз­никло еще в XVI в. в связи с потребностью в усовершенство­вании вычислительных методов.[40, c. 77]

  Логарифмы были изобретены независимо друг от друга Джоном Непером (1550—1617) и Иостом Бюрги (1552—1632) и представлены ими в виде таблиц. Исходной при этом была идея сравнения двух прогрессий: геометрической, составлен­ной из степеней одного и того же основания,

…a-3, a-2, a-1,a0,a1, a2,a3, …

и арифметической, состоящей из показателей степеней этой прогрессии:

...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … [19, c. 57]

  История формирования понятий логарифма и логарифмической функции отражена в следующей таблице:

Архимед (около 287г. до н. э.-212г. до н. э.)	В его сочинении «Псаммит» (что означает  «исчисление песчинок») говорилось о связи между членами геометрической прогрессии  а, а2,аі,.. и арифметической прогрессией их показателей 1,2,3,... Им было высказано утверждение, эквивалентное  am·an=am+n
Николай Орем (1323- 1382гг.)	В работе «Алгоризм отношений» (1505г.) обобщил понятие показателя степени на дробные величины.
Никола Шюке (около 1445-1500 гг.)	В его работах нашли сопоставление арифметической и геометрической прогрессии.
Михаил Штифель (ок. 1486-1567 гг.)	В «Общей арифметике» сравнивал действия над членами обеих сопоставляемых прогрессий и вводил дробные и отрицательные показатели степени.
Симон Стевин (1548- 1620 гг.)	Составил первые таблицы аналогичные логарифмическим  таблицы сложных процентов.
Иостом Бюрги (1552-1632 гг.)	Составил свои таблицы логарифмов, исходя из таблиц Стевина, первые таблицы собственно логарифмов.  Исходной при этом была идея сравнения двух прогрессий: геометрической, составлен­ной из степеней одного и того же основания, …a-3, a-2, a-1,a0,a1, a2,a3, …  (1) и арифметической, состоящей из показателей степеней этой прогрессии: ...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …  (2) И. Бюрги (1552-1632 гг.), сопоставив в своей таблице последовательность степеней чисел (1) с последовательностью из показателей (2), ввел, по существу, логарифмы как ряд чисел арифметической прогрессии, который соответствует данной геометрической прогрессии. [19, c. 5] В 1620г. он издал книгу «Таблицы арифметической и геометрической прогрессии с обстоятельным наставлением, как пользоваться ими при всякого рода вычислениях».

1.2. Введение логарифмической зависимости у Дж. Непера. Первые таблицы логарифмов (Г. Бригс).

  Джон Непер (1550-1617 гг.) сформулировал в кинематической форме определение понятия логарифма для всех значений непрерывно меняющихся величин синуса и косинуса, введя, таким образом, в рассмотрение логарифмическую функцию. Непер ввёл само понятие логарифма, его таблицы появились в 1614г. в Эдинбурге под заглавием «Описание чудесного канона логарифмов», причём его система логарифмов оказалась системой с основанием и, помимо этого, содержала логарифмы тригонометрических функций. Непер рассматривал правила логарифмирования и, одним из первых, десятичные логарифмы.

  При состоянии математики XVII, когда еще не было аналитического аппарата исчисления бесконечно малых, естественным и единственным средством для этого являлось кинематическое определение логарифма. Приведем исходные определения из «Описания»: