Логарифма и логарифмической функции (стр. 4 )

Бегунок представлял собой прямоугольную рамку со стеклом, на середине которого нанесена тонкая черта – указатель. Бегунок удерживался на линейке зацепляясь краями рамки. Между бегунком и линейкой устанавливалась пружинка, помогающая свободно перемещаться бегунку и удерживаться ему на линейке.

На обратной стороне линейки приводились справочные данные: математические и физические константы, коэффициенты линейного расширения, модули упругости, удельные веса тел и другие данные.

Рассмотрим назначение шкал линейки.

Шкала К служит для вычисления кубов чисел, откладываемых на шкале D. Если число отложить на шкале К, то на шкале В будет корень третей степени этого числа. Отрезки, нанесенные на эту шкалу, пропорциональны (m/3)*lg X, где m – длина шкалы в миллиметрах (250). На участке от 1 до 2 цена наименьшего деления соответствует 0.02, на участке от 2 до 4 – 0.05, на участке от 4 до 10 – 0.1. На участках от 10 до 20, от 20 до 40, от 40 до 100 значения наименьших делений равны соответственно 0.2, 0.5, 1. А на участках от 100 до 200, от 200 до 400 и от 400 до 1000 - соответственно равны 2,5 и 10.

Шкала А служит для вычисления квадратов чисел, откладываемых на шкале D. Так же можно с помощью шкал А и В вычислять квадратные корни чисел.

Шкала В точно такая же, как шкала А. На этих шкалах нанесены отрезки, пропорциональные (m/2)*lg X. Цена наименьшего деления на участках от 1 до 2, от 2 до 5, от 5 до 10, от 10 до 20, от 20 до 50, от 50 до 100 равна соответственно 0.02, 0.05, 0.1, 0.2, 0.5 и 1.

Шкала L – равномерная. На ней отложены мантиссы (дробная часть десятичного логарифма) логарифмов шкалы D. Наименьшее деление этой шкалы соответствует 0.002, а метки, обозначенные цифрами 1,2,3,4.., читаются как 0.1, 0.2, 0.3, 04…

Шкалы D и С называются основными. На них нанесены отрезки, пропорциональные m*lg X, при Х изменяемом от 1 до 10. Значение наименьших делений этих шкал на участке от 1 до 2 означает 0.01, на участке от 2 до 4 они означают 0.02, на участке от 4 до 10 – 0.05.

Шкала R – это шкала обратных значений. Она представляет собой шкалу С (D), но в перевернутом виде. Таким образом, метка 10 этой шкалы будет на левом конце, а 1 – на правом. На этой шкале любой отрезок P от начала шкалы равняется 250-250* lg p = 250* lg (1/p).

Шкалы Sin, S&T и Tg используются при вычислениях с тригонометрическими функциями. Отрезки на этих шкалах пропорциональны следующим функциям:

Для шкалы синусов (Sin): y = k ( lg sin Vs + 1 ),

Для шкалы синусов и тангенсов (S&T): y = k [ lg 1/2( sin V + tg V ) +2],

Для шкалы тангенсов (Tg): y = k ( lg tg Vt + 1 ),

где Vs и Vt – пометки углов, соответствующие шкалам. На шкале Sin углы изменяются от 5043,77` до 900. На шкале Tg – от 5043,77` до 450. На шкале S&T – от 0034,38` до 5043,77`. Значения углов выбраны таким образом, чтобы значения функций начала шкалы были в десять раз меньше значения функции конца той же шкалы.

Для шкалы синусов значение наименьшего деления на участке от начала до 100 – 5`, на участке от 100 до 200 – 10` , на участке от 200 до 900 - 20`. Для шкалы тангенсов на участке от начала шкалы до 200 наименьшее деление соответствует 5`, а на участке от 200 до 450 – 10`. На шкале синусов и косинусов значение наименьшего деления 1` соответствует участку от начала шкалы до 30, и 2` - для участка от 30 и дальше.

На шкалах логарифмической линейки отмечены константы: =3.14… , М = 1/ , C = C1= , .

Следует помнить, что каждая метка (риска) на шкалах линейке имеет не одно определенное значение, а всякое другое, которое может быть получено умножением этого значения на 10 в любой степени. То есть, числа … 1525, 152.5, 15.25, 1.525, 0.1525 … будут расположены в одном месте логарифмической линейки.[25,c.11-15]  С помощью логарифмической линейки можно производить умножение, деление, возведение в степень и извлечение корней, определять натуральные значения тригонометрических функций заданных углов и по заданным натуральным значениям тригонометрических функций находить соответствующие им углы, определять логарифмы чисел.[13, c. 98] Рассмотрим подробно правила выполнения перечисленных выше операций с помощью логарифмической линейки и начнем с умножения и деления.

  Умножение и деление с помощью линейки основывается на свойстве логарифмов:  

Следовательно, операция умножения сводится к сложению соответствующих отрезков на логарифмических шкалах C и D, а операция деления – к вычитанию этих отрезков. Рассмотрим пример, в котором требуется вычислить X = 41.4 x 12 = 496,8:

1. Ставим указатель бегунка на деление 41.4 на шкале D.

2. Передвигаем движок вправо так, чтобы крайняя левая цифра шкалы C (1) была под указателем бегунка.

3. Ставим указатель бегунка на деление 12 на шкале C.

4. По указателю бегунка считываем число на шкале D (497).

5. Приблизительный результат умножения 497.

Рассмотрим деление на примере y = 5.15/1.31 = 3.931…:

1. Устанавливаем указатель бегунка на деление 5.15 шкалы D.

2. Перемещаем движок логарифмической линейки влево до совпадения указателя бегунка с делением 1.31 шкалы С.

3. Устанавливаем указатель бегунка на левую крайнюю цифру шкалы С (1).

4. По указателю бегунка считываем число на шкале D (393).

5. Приблизительный результат деления будет 3.93.

Для возведения в квадрат или в куб числа М устанавливают указатель бегунка на деление шкалы D, соответствующее числу М. По указателю бегунка на шкале А считывают квадрат числа М, а на шкале К – куб числа М. При этом необходимо вручную учитывать порядок результата.

Рассмотрим пример возведения числа 42 в куб и квадрат с помощью логарифмической линейки:

1. Устанавливаем бегунок на деление 4.2 шкалы D.

2. По указанию бегунка считываем число на шкале А (17.64).

3. Определяем порядок результата возведения в квадрат. Для этого в первую очередь определяем порядок исходного числа. 42 = 4.2 *101, следовательно, порядок исходного числа 1. Воспользовавшись правилом возведения числа в степень ((Xn)m = Xn*m), определим порядок результата. В нашем случае n = 1 (порядок исходного числа), m = 2 (возведение в квадрат), таким образом, порядок результата будет 1*2 = 2.

4. Приблизительный результат возведения числа 42 в квадрат будет 17.64*102 = 1764.

5. По указанию бегунка считываем число на шкале К (74).

6. Определяем порядок результата возведения в куб. В этом случае n = 1, m = 3, следовательно, порядок результата будет 1*3 = 3.

7. Приблизительный результат возведения числа 42 в куб будет 74*103 = 74000.

Извлечение корня – действие, обратное возведению в степень, поэтому для того, чтобы извлечь квадратный корень из числа устанавливают указатель бегунка на деление, соответствующее этому числу на шкале А, а результат извлечения смотрят по указателю бегунка на шкале D. Для извлечения кубического корня указатель устанавливают по шкале К, а результат опять же будет на шкале D. Так же, как и при возведении в степень, порядок результата необходимо рассчитывать вручную.

Для нахождении десятичного логарифма числа необходимо указатель бегунка установить на деление шкалы D, соответствующее этому числу. И по указателю бегунка на шкале L определить мантиссу (дробная часть) логарифма. Затем спереди приписать к ней характеристику (целая часть) логарифма. Рассмотрим пример нахождения десятичного логарифма числа 473 (lg 473 = 2.67486…):

1. Устанавливаем указатель бегунка на деление шкалы D, соответствующее числу 473. В нашем случае это будет деление 4.73.

2. Определяем значение мантиссы на шкале L по указателю бегунка (675).

3. Определяем характеристику десятичного логарифма: 102 < 473 <103, следовательно, характеристика будет 2.

4. Приблизительный результат вычисления десятичного логарифма числа 473 будет 2.675.

Для нахождения числа по заданному десятичному логарифму (потенцирование) устанавливают указатель бегунка на деление шкалы L, соответствующее мантиссе логарифма. По указателю бегунка определяют число, соответствующее мантиссе. Далее вручную определяют порядок результата, исходя из характеристики логарифма.

Рассмотрим пример определения числа, заданного десятичным логарифмом 2.675:

1. Устанавливаем указатель бегунка на деление шкалы L, соответствующее мантиссе заданного десятичного логарифма (675).

2. Определяем по указателю бегунка значение на шкале D (4.73).

3. Определяем порядок результата. Так как характеристика заданного логарифма 2, то порядок результата будет 102.

4. Приблизительный результат потенцирования: 4.73*102 = 473.

Логарифмические шкалы Sin, S&T и Tg позволяют производить разнообразные действия над формулами, содержащими тригонометрические функции. Однако, эти шкалы предназначались только для работы с синусами и тангенсами, поэтому при работе с косинусами и котангенсами было необходимо предварительно выразить их через синусы и тангенсы по формулам:

cos a = sin (900-a);

ctg a = 1/tg a, для а от 00 до 450;