ЗАДАЧИ по геометрии Лобачевского.
1. Доказать, что две прямые, лежащие в одной плоскости, и образующие равные внутренние накрест лежащие углы с третьей прямой, являются расходящимися.
2. Доказать, что на плоскости Лобачевского вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, острый.
3. Сравнить высоту прямоугольного равнобедренного треугольника, опущенную из прямого угла, с половиной его гипотенузы.
4. В треугольнике ABC точка E лежит на стороне BC, точка F на стороне AB и угол BEF равен углу С. Сравнить углы BFE и A.
5. Пусть прямая l параллельна прямой n в направлении AA', и BB' - соответствующее направление на l. Доказать, что существует прямая k, параллельная l в направлении B'B и параллельная n в направлении A'A.
6. Доказать, что для двух расходящихся прямых существует третья, параллельная им обоим.
7. Пусть прямые l и m - параллельны, точка M лежит на прямой l, точка N лежит на прямой m, точка O лежит на прямой l и следует за M в направлении параллельности. Доказать, что угол MON неограниченно уменьшается при удалении точки O в сторону параллельности.
8. Доказать, что существует треугольник, сумма углов которого меньше наперед заданного положительного числа.
9. Пусть в плоскости Лобачевского к прямой l восстановлены в различных точках A, B,C из l три перпендикуляра, на которых по одну сторону от l отложены равные отрезки AA',BB',CC'. Лежат ли точки A', B',C' на одной прямой?
10. Доказать, что катет прямоугольного тругольника, лежащий против угла, равного одной трети прямого, больше половины гипотенузы.
11. Сравнить среднюю линию треугольника с половиной основания.
12. Доказать, что если в плоском четырехугольнике обе пары противоположных стороны равны, то прямые, на которых лежат противоположные стороны, являются расходящимися.
13. Существует ли прямая на плоскости Лобачевского, пересекающая все прямые данного пучка параллельных прямых?
14. Докажите, что множество точек плоскости Лобачевского, находящихся на одинаковом расстоянии от двух расходящихся прямых, является прямой.
Задачи по проективной геометрии
, . "Сборник задач по аналитической геометрии".
№№ 000, 1358, 1359, 1362,1373, 1390, 1396, 1399, 1440, 1441.
