Геометрия в 8 классе

Геометрия в 8 классе

Задача №1

На плоскости даны две окружности с радиусами 1 и 2 и расстоянием между центрами, равным 10. Найдите чему равно наибольшее и наименьшее расстояние между точками этих окружностей. В качестве ответа укажите разность наибольшего и наименьшего расстояний.

Решение задачи

Обозначим центры этих окружностей через O1 и O2, обозначим через K, L, M и N точки пересечения линии центров с данными окружностями, как показано на рисунке. Пусть A и B — произвольные точки данных окружностей. По неравенству о длине ломаной имеем, что AB≤O1A+O1O2+O2B=1+10+2=13, причем равенство достигается, когда точки A и B совпадают с точками K и L. Также по неравенству о длине ломаной имеем, что O1A+AB+O2B≥O1O2=O1M+MN+NO2. Значит, AB≥MN=10−1−2=7, причем равенство достигается, когда точки A и B совпадают с точками M и N. Значит, наибольшее расстояние между точками окружностей равно 13, а наименьшее — 7. Их разность равна 6.

Задача №2

На сторонах BC и CD квадрата ABCD взяты точки M и K соответственно так, что 2BM=3DK=AB. Найдите ∠KAM. В ответе укажите его градусную величину.

Решение задачи

Введем векторы AD→=a⃗ AB→=b⃗ , и пусть (a⃗ ,a⃗ )=(b⃗ ,b⃗ )=d2, то есть длина стороны квадрата равна dd. Ясно, что (a⃗ ,b⃗ )=0, поскольку смежные стороны квадрата перпендикулярны друг другу.

Легко видеть, что AM→=12a⃗ +b⃗ 12a→+b→, AK→=a⃗ +13b⃗ .  Запишем скалярное произведение:

(AM→,AK→)=(12a⃗ +b⃗ ,a⃗ +13b⃗ )=12d2+13d2=56d2

Найдем теперь квадраты длин этих векторов:

(AM→,AM→)=54d2, (AK→,AK→)=109d2.

Поскольку ∠KAM<90, то можно найти косинус этого угла через скалярное произведение:

cos∠KAM=cos∠(AK→,AM→)=(AM→,AK→)(AM→,AM→)⋅(AK→,AK→)=√56d252–√6d2=12–√.

Следовательно, ∠KAM=45∘∠KAM=45∘.

Задача №3

Внутри квадрата ABCD выбрана точка M так, что MAC = MCD = . Найдите величину угла ABM.

Решение

Если точка M лежит внутри треугольника ABC, то MAC < 45o < MCD. Легко также проверить, что на сторонах треугольников ABC и ACD точка M лежать не может, поэтому она лежит внутри треугольника ACD. При этомAMC = 180o - MAC - (45o - MCD) = 135o. Это означает, что точка M лежит на дуге окружности радиуса AB с центром B. Поэтому по теореме о вписанном угле ABM = 2ACM = 90o - 2.

Задача №4

В остроугольном треугольнике ABCABC проведены высоты BD и CE. Из вершин B и C на прямую EDопущены перпендикуляры BF и CG. Известно, что FG=7, DE=3, найдите EF.

Решение задачи

Четырехугольник BEDC — вписанный, причем все его вершины лежат на окружности с диаметром BC. Опустим перпендикуляр из середины M отрезка BC на прямую ED. Поскольку M является центром описанной окружности четырехугольника BEDC, то этот перпендикуляр является ее диаметром. Как диаметр, перпендикулярный хорде, он пройдет через середину N хорды ED. То есть MN⊥ED, причем NE=ND..

Четырехугольник GFBC является прямоугольной трапецией (поскольку BF⊥FG, CG⊥FG), в которой MN параллельна основаниям (поскольку MN⊥FG) и проходит через середину боковой стороны. Поэтому MN по теореме Фалеса является средней линией трапеции. Следовательно, NF=NG.

Остается заметить, что раз NE=ND и NF=NG, то EF=DG=FG−ED2=7−32=2.

Задача №5

Выпуклый четырехугольник ABCD обладает тем свойством, что существует окружность, вписанная в угол BAD и касающаяся продолжений сторон BC и CD. Известно, что AB=4, BC=5, CD=7. Найдите AD.

Решение задачи

Из выпуклости четырехугольника ABCD следует, что данная окружность лежит вне этого четырехугольника, то есть она касается также продолжений сторон AB и AD. Пусть прямые AB, BC, CD, DAкасаются окружности в точках K, M, L, N соответственно. Тогда AK=AN, BK=BM, CL=CM, DL=DN, так как касательные, проведенные из одной точки к окружности, равны.

Обозначим CL=CM=a, тогда BK=BM=BC+a, AK=AB+BK=AB+BC+a. Аналогично, DN=DC+a, AN=AD+DC+a.

Поскольку AK=AN, то AB+BC+a=AD+DC+a, то есть AB+BC=AD+DC.

Задача №6

Стороны параллелограмма равны 8 и 11. Найдите большую из диагоналей четырехугольника, образованного пересечениями биссектрис внутренних углов параллелограмма.

Решение задачи

Пусть биссектриса угла AA параллелограмма ABCD, в котором AB=8,, BC=11,, пересекает биссектрисы углов Bи D соответственно в точках K и L, а сторону BC — в точке P. Биссектриса угла C пересекает биссектрисы углов D и B соответственно в точках M и N, а сторону AD в точке Q.

Четырехугольник KLMN — прямоугольник, так как биссектрисы углов, прилежащих к стороне параллелограмма, взаимно перпендикулярны. Треугольник ABP равнобедренный, так как ∠BAP=∠PAD=∠BPA, поэтому его биссектриса BK является медианой. Значит, K — середина AP.

Аналогично доказывается, что треугольник CQD равнобедренный и M — середина CQ. Тогда PC=AQ=11−8=3, а четырехугольник APCQ — параллелограмм (PC=AQPC=AQ и PC∥AQPC∥AQ). Значит, четырехугольник PKMC — также параллелограмм (PK∥CMPK∥CM, PK=12AP=12CQ=CM). Следовательно, LN=KM=PC=11−8=3.

Задача №7

В круге проведены два диаметра AB и CD, а M — некоторая точка внутри круга. Известно, что AM=15, BM=200 и CM=24. Найдите DM.

Решение задачи

Ясно, что ACBDACBD прямоугольник, поскольку диагоналей равны и делятся точкой пересечения пополам. Заметим, что квадрат расстояния от точки MM до вершины прямоугольника всегда равен сумме квадратов расстояний от точки MM до сторон, выходящих из этой вершины. Отсюда следует, что MA2+MB2=MC2+MD2, поскольку и справа, и слева стоит просто сумма квадратов расстояний от точки MM до всех сторон прямоугольника. Отсюда нетрудно найти DM2=AM2+BM2−CM2=225+400−576=49.

В выпуклом шестиугольнике ABCDEF длины отрезков A1D1, B1E1, C1F1 оказались равны, где A1,B1,C1,D1,E1,F1 — середины сторон AB BC, CD, DE, EF и FA соответственно. Пусть AB=3, BC=4, DE=5. Найдите угол между отрезками A1D1 и B1E1. Ответ выразите в градусах.

Решение задачи

Введем обозначения: AB→=a⃗ ,BC→=b⃗ ,CD→=c⃗ ,DE→=d⃗ ,EF→=e⃗ ,FA→=f⃗ =−(a⃗ +b⃗ +c⃗ +d⃗ +e⃗ ). Заметим, что

A1D1→=a⃗ /2+b⃗ +c⃗ +d⃗ /2,B1E1→=b⃗ /2+c⃗ +d⃗ +e⃗ /2,C1F1→=c⃗ /2+d⃗ +e⃗ +f⃗ /2==c⃗ /2+d⃗ +e⃗ −(a⃗ +b⃗ +c⃗ +d⃗ +2⃗ )/2==d⃗ /2+e⃗ /2−a⃗ /2−b⃗ /2.

Тогда

A1D1→+C1F1→=(a⃗ /2+b⃗ +c⃗ +d⃗ /2)+(d⃗ /2+e⃗ /2−a⃗ /2−b⃗ /2)==b⃗ /2+c⃗ +d⃗ +e⃗ /2=B1E1→.

Отсюда следует, что из векторов A1D1→, B1E1→ и C1F1→ можно составить треугольник. Поскольку длины этих векторов равны по условию, то составленный треугольник будет равносторонним, в котором все углы равны 60∘.