Оглавление
Вступление……………………………………………………………………………..2
Цели и задачи………………………………………………………………............3
Из истории вопроса………………………………………………………………..4
Методы решения задач на экстремумы……………………………..5
Примеры решения геометрических задач на экстремумы
Задача Евклида………..……………………………………………………6-7 Задачи Дидоны………………………………………………………………8-9 Практическое применениеизопериметрических задач…………………………………………..10
Применение неравенств в решении задач………………….11Заключение…………………………………………………………………………….12
Список литературы………………………………………………………………13
Вступление
Задачи, где требуется определить условия, при которых некоторая величина принимает наибольшее и наименьшее значение, принято называть задачами «на экстремум» (от латинского слова extremum – крайний) или задачами на «максимум и минимум». Такие задачи часто встречаются в технике и естествознании, в повседневной деятельности людей.
Дело в том, что многие технические, экономические и т. д. процессы моделируются функцией или несколькими функциями, зависящими от переменных – факторов, влияющих на состояние моделируемого явления. Требуется найти экстремумы таких функций для того, чтобы определить оптимальное (рациональное) состояние, управление процессом. Так в экономике, часто решаются задачи минимизации издержек или максимизации прибыли – микроэкономическая задача фирмы.
Как из круглого бревна выпилить прямоугольную балку с наименьшим количеством отходов? Каких размеров должен быть ящик, чтобы при заданном расходе материала его объем был наибольшим? В каком месте стоит строить мост через реку, чтобы дорога, проходящая через него и соединяющая два города, была кратчайшей?
Эти задачи (им легко можно придать геометрический вид) имеют большое практическое значение. С их помощью можно решить важный во всяком деле вопрос, как, по словам русского математика Чебышева, «располагать средствами своими для достижения по возможности большей выгоды». Уметь решать подобные задачи очень важно, и поэтому они привлекают большое внимание.
Цель работы: найти простейший способ решения задач на минимум и максимум и составить алгоритм применения этого способа на практике.
Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:
Изучить историю развития экстремальных задач. Найти различные способы решения задач на минимум и максимум в различных источниках литературы и Интернет-ресурсах. Выбрать простейший способ решения экстремальных задач и изучить его применение на практике.Из истории вопроса
В жизни постоянно приходится сталкиваться с необходимостью принять наилучшее возможное (иногда говорят - оптимальное) решение. Огромное число подобных проблем возникает в экономике и технике. При этом часто случается так, что полезно прибегнуть к математике.
В математике исследование задач на максимум и минимум началось очень давно – двадцать пять веков назад, Долгое время к задачам на отыскание экстремумов не было сколько-нибудь единых подходов. Но примерно триста лет назад – в эпоху формирования математического анализа – были созданы первые общие методы решения и исследования задач на экстремум.
Накопление методов дифференциального исчисления приняло наиболее явную форму у Ферма. В 1638 году он сообщил в письме Декарту, что решил задачу определения экстремальных значений функции f(x). Ферма составлял уравнение (f(x+h)-f(x))/h=0 и после преобразований в левой части полагал h=0, вопреки мнению позднейших исследователей, которые видели в этой идеи исчисления бесконечно малых. В действительности, Ферма нашел это условие и аналогичное (f(y)-f(x))/(y-x)=0 при y=x ещё алгебраическими путями.
К сожалению, Ферма не стремился публиковать свои работы, кроме того, пользовался труднодоступными для усвоения алгебраическими средствами Виета с его громоздкой символикой. Видимо, поэтому он не сделал последнего, уже небольшого, шага на пути к созданию дифференциального исчисления.
Накопление фактов дифференциального исчисления происходило быстро. В “Дифференциальном исчислении” (1755) Эйлера это исчисление появляется уже в весьма полном виде.
Правила определения экстремумов функции одной переменной y=f(x) были даны МакЛореном. Эйлер разработал этот вопрос для функции двух переменных. Лагранж показал (1789), как отличать вид условного экстремума для функции многих переменных.
В XVIII веке возникло исчисление вариаций. В трудах Эйлера и Лагранжа оно приобрело вид логически стройной математической теории. Главной задачей, решаемой средствами этого исчисления, являются отыскание экстремумов функционалов.
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА ЭКСТРЕМУМЫ
О задачах на максимумы и минимумы хорошо писал великий русский математик Пафнутий Львович Чебышев. Он указывал, что «практическая деятельность человека представляет чрезвычайное разнообразие, и для удовлетворения всех её требований, разумеется, недостаёт науке многих и различных методов. Но из них особенную важность имеют те, которые необходимы для решения различных видоизменений одной и той же задачи, общей для всей практической деятельности человека: как располагать своими средствами для достижения по возможности большей выгоды?»
Главная суть математики в экстремальной задаче - метод решения.
В дифференциальном исчислении существует общий метод нахождения экстремумов, основоположники которого Ферма, Ньютон и Лейбниц, - с помощью производной. Чтобы найти точки экстремума функции, надо вычислить её производную и найти точки, в которых производная обращается в нуль или не существует. Эти точки «подозрительны на экстремум». После этого надо найти знак производной слева и справа от каждой исследуемой точки. Если при переходе через такую точку производная меняет знак с «плюса» на «минус», то в ней функция имеет максимум, если знак производной меняется с «минуса» на «плюс», то минимум, а если слева и справа значения производной одинаковы, то наше подозрение не оправдалось, в точке экстремума нет.
Преимущество данного метода в его универсальности, с его помощью можно решить практически любую задачу. Именно так и развивалась история экстремальных задач –от частных методов к общему. Но применить метод решения с помощью производной в школьном курсе можно только в старших классах. Однако получить ответ экстремальной задачи можно с помощью частного способа - метода перебора.
Метод перебора (метод равномерного поиска) —простейший из методов поиска значений на максимум, на минимум.
Примеры решения геометрических задач на экстремум
Самая простая и, вероятно, самая древняя задача на экстремум такая: какой из всех прямоугольников заданного периметра имеет наибольшую площадь? Решение её было известно древнегреческой математике. Оно изложено в IV книге «Начал» Евклида, где доказывается, что если рассмотреть прямоугольник и квадрат одного и того же периметра, то площадь квадрата будет больше. Доказательство очень простое, оно основано на сравнении площадей.
S1 = x(a – x)
S2 = a(a – x)
Площадь прямоугольника равна S0+S1, а площадь квадрата S0+S2 и S1<S2, если х<а. Таким образом, можно установить, что из всех прямоугольников с заданным периметром наибольшую площадь имеет квадрат. В решении Евклида, во–первых, указан ответ (квадрат) и, во–вторых, доказано, что по площади он превосходит все другие возможные фигуры (прямоугольники данного периметра). Именно так понимается в математике решение задач на экстремум: дать ответ и доказать его экстремальное свойство.
Приведенный пример рассматривает решение задачи с использованием электронных таблиц:
Периметр | 20 | |
Сторона а | Сторона b | Площадь |
1 | 9 | 9 |
2 | 8 | 16 |
3 | 7 | 21 |
4 | 6 | 24 |
5 | 5 | 25 |
6 | 4 | 24 |
7 | 3 | 21 |
8 | 2 | 16 |
9 | 1 | 9 |
максимум | 25 |
Изопериметрические задачи объединяют также общим названием – задачи «Дидоны». Они названы так по имени легендарной основательницы города Карфагена и его первой царицы. Согласно легенде, вынужденная бежать из своего родного города, Дидона вместе со своими спутниками прибыла на северный берег Африки и хотела приобрести у местных жителей землю для нового поселения. Ей согласились уступить участок земли, однако не больше, чем объемлет воловья шкура. Хитроумная Дидона разрезала шкуру на узкие ремешки и, разложив их, сумела ограничить гораздо большую площадь по сравнению с той, которую можно было покрыть одной воловьей шкурой.
Если учесть, что Дидона выбрала участок, примыкающий к берегу моря, то математическую задачу, с которой она столкнулась, можно сформулировать так: какой формы должна быть кривая длины L, чтобы площадь фигуры, ограниченная этой кривой и заданной линией Г, была наибольшей?
В некоторых частных случаях задача Дидоны имеет простое решение. Например, если береговая линия есть прямая и ограничиваемый участок прямоугольной формы, то наибольшую площадь будет иметь прямоугольник с длинами сторон l/4 и l/2, примыкающий большей стороной к береговой линии. Решать задачу можно, используя, например, свойства квадратного трехчлена.
Рассмотрим решение этой задачи с помощью электронных таблиц:
Периметр | 20 | ||
Сторона а | Сторона b | Сторона с | Площадь |
1 | 1 | 18 | 18 |
2 | 2 | 16 | 32 |
3 | 3 | 14 | 42 |
4 | 4 | 12 | 48 |
5 | 5 | 10 | 50 |
6 | 6 | 8 | 48 |
7 | 7 | 6 | 42 |
8 | 8 | 4 | 32 |
9 | 9 | 2 | 18 |
максимум | 50 |
Историческая справка: Дидона – имя легендарной основательницы Карфагена (конец IX века до н. э.). Также её называли Фиоссо. Возможно, на образ Дидоны повлияли представления о финикийских богинях, и её после смерти обожествили под именем Танит.
Рассмотренная задача относится к широкому классу геометрических задач на экстремум – так называемым изопериметрическим задачам, в которых фигура с экстремальным свойством отыскивается среди других с равным периметром. Изопериметрические задачи рассматривались древнегреческим математиком Зенодором, жившим во II – I веке до н. э. Ему приписывают, например, доказательство следующих утверждений:
Из двух многоугольников с равным периметром и равным числом сторон наибольшую площадь имеет правильный многоугольник;
Из двух правильных многоугольников с равным периметром большую площадь имеет тот, у которого число углов больше.
Зенодор также формулирует изопериметрическое свойство круга: из всех плоских фигур с равным периметром наибольшую площадь имеет круг, но полным доказательством этого свойства греческая математика не располагает. Строгое доказательство было дано только в XIX веке. Рассмотрим задачу:
Какой гвоздь труднее вытащить – круглый, квадратный или треугольный, – если они забиты одинаково глубоко и имеют одинаковую площадь поперечного сечения?
Крепче всего в стене будет держаться гвоздь с наибольшей площадью соприкосновения со стеной. У какого же из наших гвоздей большая боковая поверхность? Мы уже знаем, что при равных площадях периметр квадрата меньше периметра треугольника, а окружность меньше периметра квадрата. Если сторону квадрата принять за единицу, то вычисление дает для этих трех величин значения: Р1=3,55; Р2=4; Р3=4,53. Следовательно, крепче других должен держаться треугольный гвоздь.
Таких гвоздей, однако, не изготовляют, по крайней мере в продаже они не встречаются. Причина кроется, вероятно, в том, что подобные гвозди легче изгибаются и ломаются.
Одним из сильных методов решения геометрических задач на экстремум является применение неравенств, в частности неравенства о среднем арифметическом и среднем геометрическом. Для примера рассмотрим такую задачу: каких размеров должен быть ящик (прямоугольный параллелепипед), чтобы при заданной площади поверхности его объем был наибольшим?
Пусть a, b, c - длины таких ребер, S – площадь полной поверхности, V – объем.
Очевидно, что S=2(ab + bc + ac), V=abc. Если заметить, что сумма трех величин ab, bc, ac равна S/2 , а их произведение равно V2, и применить неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом, то будем иметь:
, т. е
или 
Как следует из теоремы о среднем, знак равенства достигается лишь в том случае, если ab-bc=ac, т. е. при a=b=c, и при этом значение объема V принимает наибольшее возможное значение. Отсюда заключаем, что среди всех ящиков с заданной площадью полной поверхности наибольший объем имеет ящик кубической формы.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Человека особенно интересует наилучшее. Он стремится к нему, добивается его, борется за него. В жизни, в трудовой деятельности ему приходится постоянно решать вопросы о том, как нужно поступить в каждом случае, чтобы получающиеся результаты его деятельности были наилучшими. Решение экстремальных задач способствует углублению и обогащению математических знаний человека.
Проведя параллель между историей развития экстремальных задач и методами их решения, можно выделить метод перебора как простейший способ решения таких задач. Он основан на поиске наибольшего или наименьшего значения среди полученных результатов. Использовать метод перебора для решения экстремальных задач могут ученики разного возраста, так как не требуется специальных знаний математики (решение неравенств, исследование функций, дифференциальное исчисление).
Следует также изучать и другие методы решения экстремальных задач (метод оценки, с помощью производной и другие), так как они позволяют решать более сложные и интересные задачи.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
https://ru. wikipedia. org/
http://mathprofi. ru/
Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. В 2 ч. Учебник и задачник для учащихся общеобразовательных организаций (углубленный уровень) под редакцией – М. : Мнемозина, 2015.
