Реферат на тему: «Красивые задачи в математике»
МКОУ « Лицей с. Верхний Мамон» Воронежской области
РЕФЕРАТ
на тему: «Красивые задачи в математике»
Выполнил:
ученица 9 «А» класса
Волкотрубова Екатерина
Руковолитель:
учитель математики
2016 год
Красивые математические задачи всегда были « изюминкой» школьной математики. В традиционной системе математической подготовки, где ориентация на навыки и стандарты как на конечный результат обучения зачастую превалирует над развитием умения мыслить и рассуждать самостоятельно, такие задачи не только способствуют формированию целостной системы математических знаний, но и создают столь необходимую для ребенка дополнительную мотивацию к изучению предмета.
Однако в отличии от понятий математических, представление о красоте задач, как и вообще о красоте, глубоко субъективны: одна и таже задача в зависимости от избранного метода решения, может восприниматься по - разному.
Дефицит красивых задач, который так остро ощущался еще лет 10 назад, сегодня благодаря многочисленным авторам и издательствам полностью преодолен. В последние годы в учебной математической литературе наметилась тенденция перепроизводства. И если раньше было принято сравнивать задачи с витаминами (и тех, и других не бывает много), то теперь речь идет уже не о нехватке витаминов, а об их разумном дозировании. И это наталкивает на естественный вопрос : какими же качествами должна обладать математическая задача, чтобы сыграть роль красивой?
Не претендуя на абсолютную истину, в своем докладе я попытаюсь сформулировать и продемонстрировать на примерах конкретных задач несколько исходных требований к красивым задачам.
Требование 1. Задача должна содержать нестандартный элемент, отличающий ее от большинства задач по данной теме. При этом нестандартность может проявляться как в самом условии, так и в методах решения. Особый интерес в этом смысле представляют задачи, имеющие несколько различных методов решения.
Например: найдите уравнение касательной к графику функции 
в точке 
.
Эта задача достаточно стандартна и решается по стандартному алгоритму ( с поправкой на все возможные ошибки, которые может допустить ученик при дифференцировании сложной функции). Красота же задачи состоит в том, что ответ можно получить практически устно.
Для этого достаточно заметить, что равенство 
равносильно
Рассмотрим еще один пример задачи, которую можно решить несколькими способами.
Дан острый угол А, вершина которого недоступна ( находится за пределами чертежа). Постройте биссектрису данного угла.
Эту задачу можно решить, как минимум, тремя способами, каждый из которых по - своему красив.
Способ первый опирается на тот факт, что три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Взяв две произвольные точки В и С на сторонах данного угла, получим треугольник В А С ( с одной недоступной вершиной ), две биссектрисы которого можно построить. Точка пересечения этих биссектрис лежит на искомой биссектрисе. Аналогично можно найти и вторую точку.
С
Способ второй использует свойство углов с соответственно параллельными сторонами: проведя на равных расстояниях от сторон данного угла прямые А1В1 и А1С1 , параллельные соответственно сторонам АВ и АС, так чтобы точка их пересечения лежала внутри угла, получим угол В1А1С1, равный данному. Очевидно, что биссектриса угла В1А1С1 лежит на искомой биссектрисе угла ВАС.
Способ третий. Угол, равный данному, можно также получить, используя свойство углов с соответственно перпендикулярными сторонами.
Проведя перпендикуляры ВС и СД соответственно к сторонам АВ и АС данного угла, получим треугольник ВСД, угол С которого равен данному углу ВАС. Легко доказать, что искомая биссектриса является серединным перпендикуляром к биссектрисе СМ треугольника ВСД.
Требование 2. Задача должна быть доступна как по формулировке условия, так и по сложности и объему используемого в решении материала.
Вычислите:
Эти примеры целесообразно предлагать в блоке один за другим - и вот почему. Такие задачи - не только хороший тренинг математического внимания, но своеобразное и очень эффективное противоядие от привычки мыслить стереотипами. Очевидно, что выражение (а) содержит нулевой множитель соs90° поэтому равно нулю.
Ключом к решению выражения (б) являются формула приведения
Что же касается классического примера (В) то в основе его решения лежит искусственный прием домножения и деления на тригонометрическое выражение
Обратим внимание на то, что каждый из примеров в отдельности не представляет такого интереса, как три примера рассмотренные подряд. Не секрет, что в попытке « алгоритмизации» математики, особенно алгебры, многие авторы учебных пособий практикуют прямое сопоставление « вид примера - способ решения» .
В этом контексте роль красивых задач, развенчивающих стереотип об однозначности такого соответствия, трудно переоценить.
Хочется обратить ваше внимание на многовариантные задачи, имеющие несколько ответов.
Для примера рассмотрим следующую задачу:
Боковые стороны трапеции равны 13 и 20 , высота - 12, а одно из оснований - 30. Найдите второе основание трапеции.
Заметим, что весь математический аппарат необходимый для решения этой задачи, исчерпывается теоремой Пифагора. При этом задача имеет четыре варианта ответа-51 ,41, 19 и 15. Особый интерес представляет возможность с помощью чертежа быстро и доходчиво объяснить «технологию» такой многовариантности. Для этого достаточно провести высоты ВВ’ и СС’ из концов данного основания и рассмотреть все возможные случаи расположения точек А и О на прямой В’С’, содержащей искомое основание.
Изображение равнобедренных треугольников А1ВА2 и D1CD2 поможет понять, почему ответов именно четыре. Кстати, важный «побочный» результат решения - две из четырех полеченных трапеций имеют тупые углы при разных основаниях - в школьных задачах встречаются не часто.
Требование 3. Решение красивой задачи должно быть лаконичным и легко объясняемым.
Например нужно найти синус острого угла ромба со стороной 25 см и площадью 300 см2.
« Естественный» подход к решению - попытка провести диагонали ромба и найти их длины - может привести к ответу только при использовании синуса двойного угла.
Правильный путь решения - найти прямоугольный треугольник, содержащий искомый острый угол. Для этого достаточно провести высоту ромба из вершины тупого угла.
Из условия задачи легко установить, что она равна 12 см. Тогда искомый синус равен 
А сейчас рассмотрим решение следующего уравнения:
|.
Перед нами один из многочисленных примеров использования свойств функций для решения уравнений.
Однако специальных знаний он не требует, поскольку прием решения « прозрачен» : уравнение представляет собой запись «квадратный корень равен отрицательному числу». Очевидно, что равенство возможно только в случаи, когда правая и левая части равны нулю, то есть при х = -3.
Требование 4. Желательно, чтобы красивая задача предусматривала возможность подсказки со стороны учителя, наталкивающей на идею правильного решения. Так, в предыдущей задаче указание « найдите прямоугольный треугольник, содержащий искомый угол» выводит на необходимость построения высоты ромба. Заметим также, что решение, полученное самостоятельно ( пусть даже с подсказкой ), запомнится гораздо лучше, чем решение, показанное учителем или одноклассником.
В качестве примера рассмотрим еще одну геометрическую задачу.
Из точки М, лежащей на катете ВС прямоугольного треугольника АВС, проведен перпендикуляр МД к гипотенузе АВ. Докажите, что угол МАД равен углу МСД.
Решение этой задачи достаточно оригинально и лаконично. Поскольку в четырехугольнике АДМС
, то около него можно описать окружность. Тогда 
как углы, опирающиеся на одну и ту же дугу.
Такая задача, безусловно, красива: выход в новую поисковую область, связанный с применением искусственного приема введения вспомогательной окружности, - один из самых нетривиальных подходов к решению планиметрических задач.
Иногда и задачи стереометрии требуют некоторой подсказки.
В качестве следующего примера рассмотрим такую задачу:
Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны и равны а, в и с. Найдите объем пирамиды.
Это достаточно известная задача легко решается с помощью вопроса - подсказки «Можно ли считать любую грань треугольной пирамиды ее основанием?». Действительно, если принять за основание пирамиды боковую грань, содержащую ребра а и в, то высота пирамиды равна с, а ее объем 
авс.
Говоря о красоте математических задач, нельзя не отметить задачи экономического направления. Эти задачи объединяют элементы двух наук - математики и экономики, учат мыслить логически.
Для примера рассмотрим три экономические задачи.
1. Допустим, что выручка от продажи продукции, выпускаемой неким предприятием, составила 50 млн. руб. При этом было израсходовано :
на сырье 20 млн. руб.
на топливо 1, 5 млн. руб.
заработная плата 14, 5 млн. руб.
кредиты, налоги 4. 5 млн. руб.
Итого: 40,5 млн. руб.
Какова прибыль предприятия и его рентабельность?
Ответ : прибыль 9, 5 млн. руб. рентабельность 9,5 : 40,5 х 100 % =23, 5 %
В своем докладе я хочу обратить ваше внимание на красоту задач. связанных с нашей жизнью.
Рассмотрим одну из них :
Фирма выпускает прогулочные и спортивные велосипеды. Ежемесячно сборочный цех способен собрать 600 прогулочных и 300 спортивных велосипедов. Готовая продукция проверяется на двух стендах: А и В. Каждый прогулочный велосипед проверяется 0,3 часа на стенде А и 0,1 часа на стенде В. А каждый спортивный стенде В. По техническим причинам стенд А не может работать более 240 ч. в месяц, а стенд В - не более 120 ч. в месяц. Каждый прогулочный велосипед Приносит фирме доход в 50 000 руб. а каждый спортивный - 90 000 руб. Сколько прогулочных и сколько спортивных велосипедов должно ежемесячно выпускать фирма, чтобы ее прибыль была наибольшей.
Решение:
Составим математическую модель этой задачи:
Пусть х десятков - количество прогулочных велосипедов, выпускаемых ежемесячно фирмой, а у десятков - количество спортивных велосипедов. По условию 
, 
Это количество велосипедов обрабатывается Зх+4у (часов) на стенде А и х+Зу (часов) на стенде В. Причем, по условию Зх+4у<240; х+3у<120.
Прибыль фирмы составляет:
S=50 ОООх + 90 ОООу
Таким образом мы пришли к следующей математической задаче
Эту систему можно свести к решению системы уравнений:
Очень важно также хотя бы раз за время учебы произвести измерения на местности, проделать расчеты, требующиеся в хозяйстве.
Я хочу рассказать о некоторых практических задачах, которые можно применить в сельской местности.
Вот некоторые из них.
1. Житель нашего села должен отправить по почте 30 000 руб. своему родственнику в Пермь. Узнайте, какой процент налога взимается с суммы перевода, и подсчитайте, сколько всего денег нужно уплатить на почте.
2.Вычислите живой вес коровы ( в кг) по формуле m = рL/50, где р - обхват туловища за лопатками ( в см), L - расстояние от передней лопатки до корня хвоста ( в см).
3.Объясните, что означает выражение :« Жирность молока составляет 3%» . Посчитайте, сколько литров молока дает в среднем одна корова на ферме.
4.0пределите, сколько процентов дневного рациона коровы составляет сено.
Красота практических задач очевидна, так как они наглядно демонстрируют важность знания математики каждому современному человеку.
Хочу обратить ваше внимание на то, что в современной армии не только командиру, но и солдату, чтобы успешно справляться со своими обязанностями, нужно владеть основами электротехники, радиотехники, хорошо знать математику.
Вот на мой взгляд красивые задачи, которые приходится решать в армии., ведь они имеют оригинальный способ решения.
Задача 1.
Если группе разведчиков 2 км пройти пешком, 3 км проехать на велосипеде и 20 км на мотоцикле, то потребуется 1 ч. 6 мин., если же 5км пройти пешком, 8 км проехать на велосипеде и 30 км на мотоцикле, то потребуется 1 час 6 мин если же 5 км пройти пешком, 8 км проехать на велосипеде и 30 км на мотоцикле, то потребуется 2 часа 24 мин. Эти данные позволяют узнать время, необходимое для того, чтобы пройти 4 км пешком, проехать 5 км на велосипеде и 80 км на мотоцикле.
Найти это время.
Решение:
Задача 2. Прибывших на парад солдат планировали построить так, чтобы в каждом ряду стояло по 24 человека. Но в действительности не все прибывшие смогли участвовать в параде, и их перестроили так, что число рядов стало на 2 меньше, а число человек в ряду на 26 больше нового числа рядов. Если бы все солдаты участвовали в параде, то их можно было бы построить так, чтобы число рядов было равно числу человек в ряду. Сколько солдат прибыло на парад?
Решение:
Обозначим (число) первоначально предполагавшееся число рядов за п, тогда число прибывших солдат рано 24п. После перестройки число рядов стало равным (п-2), а число соответственно (п+24)
Число солдат до построения 24п, а число солдат после построения (п-2)(24+п)
24п>(п-2)(п+24)
24п>п:-2п+24п-48
п2-2п-48<0
D=4+192=196 п1=8
п2=-6
(-6;8)
Число решения ограничено всего числами от 1 до 7.
А если учесть предложение о перестроении роты квадратом, то нетрудно сообразить, что из первоначального числа солдат ( 24 п ) должен извлекаться квадратный корень.
Единственное число, удовлетворяющее этому условию - это число 6.
24 * 6 = 144 ( человека)
Ответ:144 солдата прибыло на парад
Итак, сделаем некоторые выводы.
Большинство красивых математических задач решаются несколькими способами и незнание специального подхода не закрывает путь к решению, а наоборот - дает свободу выбора и простор для творческой фантазии. Многие искусственные приемы действительно математически красивы и лежат в основе решения красивых задач. Такие задачи помогут пробудить у учащихся интерес к изучению математики, расширить их кругозор, а также научить элементарным практическим умениям.
Ведь элементы математики - неотъемлемая часть общей системы ориентации в окружающем мире. В условиях современной цивилизации практически каждому человеку приходится постоянно проводить элементарные подсчеты, делать оценки и прикидки, прокладывать транспортные маршруты, читать графики и диаграммы, осмысливать статистические данные.
Математическое образование - это единственное прошедшее испытание временем средство интеллектуального развития в условиях неизбежно массового обучения. Решение некоего набора хорошо подобранных задач, требующих применения математики, - это « гимнастика ума», столь же необходимая каждому, как и гимнастика тела.
В системе человеческого знания математика занимает уникальное место. Любое высказывание в математических терминах либо истинно, либо ложно; всякое утверждение принципиально проверено и может быть либо подтверждено, либо опровергнуто.
В силу этого учебный предмет «математика» обладает колоссальным воспитательным потенциалом: воспитывается интеллектуальная честность, критичность, критичность мышления, искусство дискуссии, способность к длительным размышлениям и творчеству.
Красивые задачи развивают умение мыслить и рассуждать самостоятельно.
Они способствуют формированию целостной системы математических знаний. Да и сам процесс поиска красивых задач очень интересен.
Список литературы :
1.Устная геометрия ( издательство « Илекса» 2005 г.)
2.Учебно-методическая газета « Математика» издательство « Первое сентября» 2005 г.
3.Журнал «Математика в школе» 1993 г.
4. « Увлечь школьников математикой» М. Просвещение 1981 г.
