Геометрический смысл коэффициентов линейной функции: когда изучать?
Геометрический смысл коэффициентов линейной функции: когда изучать?
Большинство изучаемых в школьной математике функций образует классы, обладающие общностью аналитического способа задания функции из него, сходными особенностями графиков, областей применения. Освоение индивидуально заданной функции происходит в сопоставлении черт, специфических для неё, с общим представлением о функции непосредственно, без выделения промежуточных звеньев. Однако длительность периода независимого рассмотрения каждой функции незначительна; в курсе алгебры вслед за введением понятия о функции сразу рассматривается первый класс – линейные функции. Для функций, входящих в класс, изучение происходит по более сложной схеме, поскольку в нём выделяются новые аспекты: изучение данной функции как члена класса и изучение свойств всего класса на примере «типичной» функции этого класса.
Функциональная зависимость, или функция, - это такая зависимость между двумя переменными, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной. Независимую переменную называют аргументом, а о зависимой переменной говорят, что она является функцией от аргумента. Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции.
Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции.
Типичный и одновременно важнейший для математики класс функций — линейные функции, которые с точки зрения изучения характерных для этого класса свойств и представлений, формируемых в курсе алгебры. Они начинают изучаться в курсе алгебры 7 -8 классов, в зависимости от УМК.
Линейной функцией называется функция вида y = kx + b, заданная на множестве всех действительных чисел. k – угловой коэффициент (действительное число), b – свободный член (действительное число), x – независимая переменная.
Графиком линейной функции y = kx + b является прямая. Число k – угловой коэффициент (действительное число), b – свободный член (действительное число), x – независимая переменная.
Если k > 0, то угол наклона прямой y = kx + b к оси х острый; если k < 0, то этот угол тупой.
Если угловые коэффициенты прямых, являющихся графиками двух линейных функций, различны, то эти прямые пересекаются.
А если угловые коэффициенты одинаковы, то прямые параллельны.
График функции y = kx + b, где k ≠ 0, есть прямая, параллельная прямой y = kx.
Если k = 0, получим постоянную функцию y = b, график которой есть прямая, параллельная оси Ox, проходящая через точку с координатами (0; b).
Если k ‡ 0, то график функции y = kx + b пересекает ось х; если k = 0 и b ‡ 0, то прямая – график функции y = kx + b, параллельна оси х; если k=0 и b=0, то график функции совпадает с осью х.
Первоначальное представление о линейной функции выделяется из рассмотрения задачи, обычно связанной с равномерным прямолинейным движением, а также при построении графика некоторой линейной функции. Рассмотрим второй из этих источников. Основная мысль, которую мы попытаемся обосновать, состоит в том, что рассмотрение графика отдельно взятой линейной функции не может привести к формированию представлений об основных свойствах графиков всех линейных функций.
Для этого рассмотрим два наиболее широко распространенных способа построения графиков линейной функции.
Первый способ. Использование «загущения» точек на графике. Предполагается следующая последовательность действий по этому приему:
а) нанесение нескольких точек;
б) наблюдение — все построенные точки расположены на одной прямой; проведение этой прямой;
в) проверка: берем произвольное значение аргумента и вычисляем по нему значение функции; наносим точку на координатную плоскость — она принадлежит построенной прямой. Отсюда делается вывод о графике данной линейной функции.
Этот способ безусловно может привести к пониманию того, что график любой линейной функции — прямая, т. е. к выделению некоторого общего свойства класса линейных функций. Однако последовательное проведение приема требует большого времени и не может быть проделано более нескольких раз. Поэтому общее свойство будет при этом формироваться на основе изолированных примеров.
Второй способ. По двум точкам. Этот способ уже предполагает знание соответствующего свойства графиков линейных функций. Выявления новых свойств здесь не происходит, поскольку внимание, как и при первом способе, сосредоточивается на конкретной функции из класса. Заметим, что в обучении происходит последовательная смена этих способов: когда общее свойство графиков усвоено (при рассмотрении первого способа), начинают применять второй — он экономнее, и обоснован геометрически, поскольку через две точки проходит одна и только одна прямая.
Для того чтобы изучить класс линейных функций в совокупности его общих свойств, необходимо поставить новую для учащихся познавательную задачу: исследовать класс функций у=kх+b в зависимости от параметров, установить геометрический смысл параметров. Эта задача возникает сразу же вслед за введением понятия функции. Наиболее естественный прием, который может быть применен, состоит в рассмотрении одновременно нескольких функций, у которых один из параметров изменяется, а другой остается постоянным. Простейшая система, реализующая этот прием, состоит из четырех заданий с их последующим анализом и установлением связей между ними.
Пример. Постройте графики функций:
у=0,5x; y=0,5x+0,5; y=1,5x; у=1,5x+0,5.
Основная часть работы начинается после построения графиков. Их нужно сравнить, обращая внимание на особенности графиков в зависимости от числовых значений коэффициентов. Опишем, например, методику выяснения геометрического смысла коэффициентов при переменной.
Следует обратить внимание на то, что графики (а) и (б) образуют с осью абсцисс одинаковые углы, это же имеет место и для графиков (в) и (г). Кроме того, графики (а) и (б) образуют с осью абсцисс меньшие углы, чем (в) и (г). С другой стороны, коэффициенты при переменной в формуле для первой и второй функций одинаковы и меньше, чем соответствующие коэффициенты у третьей и четвертой функций. Можно после этого сформулировать вывод о зависимости рассмотренного угла от коэффициента, ввести термин «угловой коэффициент» и привести несколько закрепляющих упражнений.
Геометрический смысл коэффициента b – длина отрезка, который отсекает прямая по оси y, считая от начала координат (или точка пересечения графика функции с осью у).
Геометрический смысл коэффициента k – угол наклона прямой к положительному направлению оси x, считается против часовой стрелки.
Значительные трудности представляет случай отрицательных значений углового коэффициента; для него требуется отдельная работа, построенная аналогичным образом.
Самостоятельная работа.
Вариант 1
а) В одной координатной плоскости построить графики функций: 
; 
; 
.
б) Ответить на вопросы:
1) Что представляют собой графики построенных функций?
2) Что общего в формулах этих функций?
3) В каких координатных четвертях проходят графики?
4) Каково значение коэффициента по знаку?
5) Чему равна ордината точки пересечения графиков с осью у?
Вариант 2
а) В одной координатной плоскости построить графики функций: 
; 
; 
б) Ответьте на вопросы:
1) Что представляют собой графики построенных функций?
2) В какой точке пересекаются графики функций?
3) В каких координатных четвертях проходят графики?
4) Каково значение коэффициента по знаку?
5) Чему равна ордината точки пересечения графиков с осью у?
Презентация.
Дальнейшая отработка умений и навыков построения графиков линейной функции, а также нахождения коэффициентов k и b по графику идет и в 9 классе.
Среди многих функций
Есть одна нужнейшая
Важная, старейшая.
Зовем ее линейная
Графиком которой
Является прямая,
Строгая, красивая,
Бесконечная такая.
Если k1 равно k2,
Прямые параллельные тогда.
А при этом b1 равно b2,
То прямые совпадут тогда.
При k1, не равном k2,
Прямые пересекаются всегда,
А при этом b1 равно b2,
Точка пересечения известна нам тогда.
И каков же тут итог,
Если наш учитель строг?
Любой ответ по «месту жительства» прямых
Найдем мы при условиях любых.
Список литературы.
Изучение функций в курсе математики восьмилетней школы. Минск,1970 Алгебра, 7 класс, учебник для общеобразовательных учреждений. Под редакцией , М.Просвещение,1914. Алгебра, 8 класс, учебник для общеобразовательных учреждений. Под редакцией , М.Просвещение,1914. и др. Современные основы школьного курса математики.-М. Просвещение,1980. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. Москва. Просвещение,1990.
муниципальное образовательное учреждение
«Средняя школа с углубленным изучением отдельных предметов № 94
Тракторозаводского района г. Волгограда»
400088, Россия, г.Волгоград, телефон 71-42-10,71-42-11
Ул. Метростроевская,3а *****@***ru
« Геометрический смысл коэффициентов линейной
функции: когда изучать?»
Выполнила:
Данилова Любовь Владимировна,
учитель первой квалификационной
категории.
2015г. Волгоград
