Тема: Геометрический смысл производной.
Механический смысл производной.
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
Пусть функция f дифференцируема в точке х0.Тогда существует касательная к графику функции f в точке (х0,у0),где у0= f(x0),уравнение которой имеет вид: у = f(x0) + f '(x0)(x-x0).
Геометрический смысл производной
Значение производной состоит в том, что значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке.
f'((x) = tgб
Механический смысл производной скорости движения.
Пусть точка движется по закону 
. Тогда 
; 
, где s - путь, пройденный точкой; V - скорость точки; а - ускорение точки.
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
Пример 1. Составьте уравнение касательной к графику функции 
в точке 
Решение: 1) 
- уравнение искомой касательной;
2) 
;
3) 
;
4) 
;
5) Подставляем значения 
, 
и 
в уравнение касательной: 
или 
, 
Пример 2. Составьте уравнение касательной к гиперболе 
в точке с абциссой 
Решение: 1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
;
5) 
; 
Пример 3. Тело движется прямолинейно по закону 
, где 
измеряется в метрах, время 
- в секундах. Найдите скорость движения тела в момент времени 
Решение: 
, 
Пример 4. Тело движется прямолинейно по закону 
, где 
измеряется в метрах, время 
- в секундах. Найдите ускорение движения тела в момент времени 
Решение: Функция 
есть закон прямолинейного движения. Мгновенная скорость 
этого движения равна производной 
Мгновенная скорость 
есть функция от времени. Ускорение движения есть скорость изменения скорости, поэтому ускорение движения в момент времени 
равно производной 
. Таким образом, ускорение движения в момент времени 
равно: 
, т. е. равно производной от производной. Эту производную называют второй производной от функции 
и обозначают 
Поэтому ускорение движения 
равно второй производной 
Итак, 
= 
; 
; 
; 
ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
1. Составьте уравнение касательной к графику данной функции f(x) в указанной точке М:
; 
,
, 
.
Ответ:
.
2. Точка движется по закону 
. Найдите зависимость скорости движения от времени. Определите мгновенную скорость в момент времени 
. Ответ:
.
3. Найдите угол между касательной к графику функции 
в точке 
и осью 
. Ответ: 
.
4. Найдите уравнение касательной к графику функции 
в точке с абсциссой 
. Ответ: 
5. Найдите угол, образованный касательной к кривой 
в точке 
с положительным направлением оси абсцисс.
Ответ: 1350.
6. Точка движется прямолинейно по закону
Найдите зависимость ускорения движения от времени, если 
.
Ответ: 
.
7. Найдите уравнение касательной к графику функции 
в точке с абсциссой 2.
Ответ: 
.
8. Тело массой 10 кг движется прямолинейно по закону 
. Найдите кинетическую энергию тела 
через 4с после начала движения. Ответ: 3125 Дж.
ТЕСТ №1
1. Составьте уравнение касательной к графику функции у=3х2+6х+1 в
точке пересечения этого графика с осью ординат.
А) у=-6х+1; В) у=х+6; С) у=6х+1; D) у=6х; Е) у=6х-1.
2. Найти тангенс угла наклона касательной к графику функции
f(x)=2х3-5х в точке М(2;6)
А) tg б=13; В) tgб=19; С) tgб=17; D) tgб=29; Е) tgб=8.
3. Скорость движения материальной точки по прямой изменяется по закону
V(t)=4t+1/t. Наибольшее значение скорости за время 0,25 ≤ t ≤1 равно
А) 5; В) 4; С) 3; D) 7; Е) 0.
4. Какой угол образует с направлением оси Ох касательная к графику
функции f(x)=(1-х)3, проведенная в точке х=3?
А) острый; В) 300; С) прямой; D) тупой; Е) 00.
5. Точка движется прямолинейно по закону 
.Найти значения скорости в момент времени 
.
А) 202
; В) 198
; С) 98
; D) 104
; Е) 128
.
6. К графику функции f(x)=5х3+9х-27в точке с абсциссой х=0 проведена
касательная. Найдите абсциссу точки пересечения касательной с осью Ох. А) 3; В) 1; С) 4; D) 2; Е) -2.
7. Точка движется прямолинейно по закону 
.В какой момент времени скорость точки окажется равной нулю.
А) 9 В) 4 С) 3 D) 8 Е) 6.
8.Дана функция 
.Составьте уравнение касательной к графику функции в точке 
А) 
; В)
; С)
;
D)
Е) 
9. Точка движется по координатной прямой по закону S(t)=-t2+10t-7. Найдите S(3). А) 19; В) 14; С) 4; D) 46; Е) -5.
10. Найти угловой коэффициент прямой, проходящей через точки А(1;-1) и В(2;3). А) 
; В) -
; С) -4; D) 1; Е) 4.
ТЕСТ №2
1. Какой угол с осью Ох образует касательная к графику функции 
в точке с абсциссой 
?
А) 
; В)
; С)
; D)
; Е)
.
2. Какой угол с осью Ох образует касательная к графику функции 
в точке с абсциссой 
?
А)
; В) 
; С) 
; D) 
; Е)
.
3. Напишите уравнение касательной к графику функции 
в точке 
. А)
; В) 
; С) 
; D) 
; Е) 
.
4. Материальная точка движется по прямой линии по закону 
. Найдите скорость материальной точки в момент времени 
.
А) 
В) 
С) 
D)
Е) 
5. Прямолинейное движение точки задано уравнением 
.Найти скорость движения точки в момент времени 
.
А)28
В)34
С)25
D)45
Е)18
.
6. Точка движется прямолинейно по закону 
.Найти значения ускорения в момент времени 
.
А) 48
В) 50
С)32 
D)58
Е)74
7. Напишите уравнение касательной к графику функции 
в точке пересечения графика с осью ординат.
А)
В)
С)
D)
Е)
8. Написать уравнение касательной к графику функции
в точке с абсциссой 
.А)
В)
С)
D)
Е)
9. Найдите уравнение касательной к графику функции 
, которая параллельна прямой, заданной уравнением 
.
А)
В)
С)
D)
Е)
10. При каком значении 
прямая 
является касательной к графику функции 
А) 
В) 
С) 
D) 
Е) 
Ключи к тестам
№ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
Тест№1 | С | В | А | D | D | А | С | В | С | Е |
Тест№2 | D | Е | А | С | А | В | В | В | Е | D |
