Занятие по теме «Кинематика»

Занятие по теме «Кинематика»

Задача 1. «Водохранилище»
 Теплоход на подводных крыльях движется по реке из пункта А в пункт В а потом из В возвращается в пункт A. На его пути было водохранилище. Скорость течения реки vo, скорость течения в водохранилище пренебрежительно мала, скорость теплохода в стоячей воде v. Больше или меньше потребовалось на ту же самую дорогу теплоходу, если бы водохранилища не было, и река везде текла бы со скоростью vo?
Примечание: изменением скорости на границе река-водохранилище пренебречь, считать, что скорость теплохода в 4 раза превышает скорость течения, размеры водохранилища составляют треть от всего расстояния между A и B.

Решение.
Рассмотрим движение теплохода в реке с водохранилищем. Время движения из пункта A в пункт B по течению составит:

  t1 = 2L/(vo + v)

на участке где действует течение и
  t3 = L/v

в водохранилище, в обратном направлении время движения составит:
  t2 = 2L/(v − vo)

на участке где действует течение и
  t3 = L/v

в водохранилище.
Общее время движения
  t = t1 + t2 + 2t3 = 47L/(30vo).

Рассмотрим движение теплохода в реке без водохранилища. Время движения из пункта A в пункт B, составит:
  t1/ = 3L/(vo + v),

обратно
  t2/ = 3L/(v −).

Общее время движения равно
  t/ = t1/ + t2/ = 8L/(5vo).

Отношение времени движения в реке без водохранилища ко времени движения в реке с водохранилищем:
  t//t = 1,02.

Вывод: время движения в реке без водохранилища больше времени движения в реке с водохранилищем в 1,02 раза.

Задача 2. «Стробоскоп»

Стробоскоп представляет собой импульсную лампу, которая вспыхивает через определенные интервалы времени, что позволяет изучать движение тела. На рисунке показано падение шарика, которое происходит в темноте вдоль вертикально поставленной ученической линейки. Цифрой 0 обозначено начальное положение шарика в начальный момент времени наблюдения, цифрой 6 – конечное положение. Лампа вспыхивает с интервалом 0,02 с. Определите цену деления линейки. Какова средняя скорость движения мяча на всем пути движения. Постройте график зависимости средней скорости движения шарика от времени вспыхивания лампы.

  Решение.
Цена деления ученической линейки  (1 см − 0)/10 = 1 мм.

Так как падение происходит вдоль ученической линейки, то 6 положение шарика соответствует 7 см. Время движения шарика до этого положения составляет 6 Ч 0,02 с = 0,12 с. Тогда средняя скорость движения будет равна
  vcp = 0,07 м/0,12 с = 0,58 м/с.

Для построения графика построим таблицу

S, мм	3	8	16	32	48	70
t, c	0,02	0,04	0,06	0,08	0,10	0,12
vcp = S/t, м/с	0,15	0,2	0,27	0,4	0,48	0,58

Задача 3. «Метр»
Метр был впервые определен как одна десятимиллионная часть четверти Парижского меридиана. Известно, что экваториальный радиус Земли равен 6359 км, а если его измерять с центра земли до полюса, то он окажется на 22 км больше.

Определите длину метра, если бы его определили через длину экватора. Определите длину метра, если бы его определили через длину меридиана. Определите абсолютную и относительную погрешность полученных результатов, относительно эталона 1 метр (в процентах).

Сделайте выводы по полученным результатам.
Примечание: Абсолютной погрешностью измерений называется отличие результата измерений от истинного значения измеряемой величины. Относительной погрешностью измерений называется отношение абсолютной погрешности к истинному значению
измеряемой величины. Полученные результаты округлить до четвертой цифры после запятой.

Решение.
1) Длина окружности по экватору

  L1 = 2рR1,

где R1 = 6359 км – длина радиуса Земли взятого на экваторе. Тогда
  l1 = (1/10000000) Ч 2рR1/4 = 0,9984 (м).

2) Длина меридиана
  l2 = 2рR2,
где R2 = 6371 км – длина радиуса Земли взятого на экваторе. Тогда 

  l1 = (1/10000000) Ч 2рR2/4 = 1,0002 (м)
3) Абсолютная погрешность полученных результатов:

  Дl1 = 1,0000 − 0,9984 = 1,6 Ч 10−3 м, Дl2 = 1,0002 − 1,0000 = 2 Ч 10−4 м.

Относительные погрешности:

  е1 = 0,16 %, е2 = 0,02 %.

Выбор системы отсчета.

 В механике под системой отсчета понимают реальное тело, условно принимаемое за неподвижное, связанную с ним систему координат (особенно употребительна прямоугольная − декартова) и набор синхронных часов.
 В кинематике все системы отсчета равноправны, так как нас не интересует, какие силы обеспечивают данные параметры движения.
 В задачах динамики преимущественную роль играют, как правило, инерциальные системы отсчета, по отношению к которым уравнения движения имеют наиболее простой вид.
 Ныне за эталон в физике принята инерциальная система, в которой изотропно (от «изос» − одинаковый и «тропос» − направление) реликтовое излучение (от «реликт» − остаток).
 Нельзя однозначно утверждать, что в будущем не появятся другие эталоны, которые могут и не быть инерциальными.
 Удобно также использовать иногда и другие системы, руководствуясь принципом целесообразности, который можно легче понять на конкретных примерах.

Минимальное расстояние между катерами.

 103(Задача 1). Из двух портов, расстояние между которыми l, одновременно выходят два катера со скоростями v1 и v2, направленными соответственно под углами б и в к прямой соединяющей порты. Каково минимальное расстояние между ними?

 Решение.

 Расстояние между катерами определим по формуле

Или

 Далее, необходимо, найдя производную и приравняв ее к нулю, подставить найденное таким образом время (минимальное) в исходное уравнение и получить значение rmin. Очевидно, что этот путь решения достаточно громоздкий.
 Рассмотрим второй способ решения задачи.
 Свяжем неподвижную систему отсчета с первым катером. Тогда второй будет иметь скорость

направленную под углом ц и численно равную

Очевидно, что

 
Найдем sinц из

 
Окончательно

  Слипшиеся кусочки пластилина

 36(Задача 2). С поверхности Земли бросили вертикально вверх кусочек пластилина со скоростью vo. Одновременно такой же кусочек пластилина начал падать без начальной скорости с высоты H. При столкновении кусочки слиплись. Через какое время после начала бросания и с какой скоростью слипшийся комок упадет на Землю?

 Решение.
 Решим задачу в системе отсчета, связанной с центром масс.
 Она сводится к движению тела с высоты H/2 со скоростью vo/2 вверх:

 Решая квадратное уравнение, находим искомое время

 А искомую скорость выразим из уравнения

Окончательно

 Если нас интересуют внутренние процессы в движущихся системах, то для того, чтобы отвлечься от их движения, удобно перейти в СОЦМ. В изолированной системе центр масс движется с постоянной скоростью, и такая система будет инерциальной

Столкновение тел в воздухе.

 104(Задача 4). Тело A бросают вертикально вверх со скоростью vA. На какой высоте H находится тело Б, которое, будучи брошенным с горизонтальной скоростью vБ одновременно с телом A, столкнулось с ним в полете? Расстояние по горизонтали между исходными положениями тел равно l. Найти также время движения тел до столкновения.

 Решение.
 Для решения задач на столкновение двух падающих тел систему отсчета выбирают по методу «падающего лифта». Представим себе, что мы находимся в свободно падающем лифте. Тогда все тела, брошенные нами внутри этого лифта, будут двигаться прямолинейно и равномерно.
 Поместим всю систему в падающий лифт. Здесь столкновение тел произойдет на высоте H. Тело B пролетит за время t расстояние l:

 Тело A до столкновения преодолеет расстояние H:

Столкновение на наклонной плоскости.

 105(Задача 5). Два тела, находившихся первоначально на расстоянии l друг от друга, на гладкой наклонной плоскости начали движение навстречу друг другу со скоростями v. Угол наклона плоскости б. Найти время, пройденное до столкновения.

 Решение.
 По методу падающего лифта с учетом поворота осей выберем систему отсчета, скользящую по наклонной плоскости с ускорением a = gsinб.

 Тогда искомое время будет равно

Четыре черепахи.

 106(Задача 6). Четыре черепахи находятся в углах квадрата. Первая ползет по направлению ко второй, вторая к третьей, третья к четвертой, четвертая к первой. Найти время движения черепах до столкновения. Известна сторона квадрата − a и скорость черепах − v.

 Решение.
 Введем систему координат, которая в каждый момент времени будет иметь на оси y первую и третью черепахи, на оси x − вторую и четвертую.

 В любой момент времени черепахи будут в вершинах квадрата.
 Вращение системы отсчета компенсирует vx = const (б = 45°) (подумайте, как щ зависит от времени t качественно, определите длину траектории и координаты места встречи).
 В итоге

 Решение одной и той же задачи в различных системах отсчета способствует более глубокому усвоению сути происходящих процессов и, в конечном счете, помогает выбору рационального решения.

Плот и моторная лодка.

 107(Задача 7). Плот и моторная лодка одновременно начинают движение из пункта A. Лодка проходит путь AB = S1 за время t и возвращается обратно. На расстоянии BC = S2 лодка встречает плот. Найти скорость течения и собственную скорость лодки.

 Решение.

 1. Система отсчета «земля». Система двух уравнений с двумя неизвестными дает возможность найти u и v.

 2. Система отсчета «плот». В этой системе отсчета плот и вода покоятся, а лодка относительно плота имеет собственную скорость v, за счет которой она в течение времени t удаляется от плота и, очевидно, такое же время к нему приближается:

 За это же время плот проходит расстояние S1 − S2:

 Можно решить эту задачу в системе «лодка».

Погружение подводной лодки.

 108(Задача 8). С подводной лодки, погружающейся равномерно, испускаются звуковые импульсы длительностью 30,1 c. Длительность импульса, принятого на лодке после его отражения от дна, равна 29,9 c. Определите скорость погружения лодки. Скорость звука в воде 1500 м/с.

 Решение.
 Решим задачу в системе отсчета «дно». За время t1 испускания импульса лодка переместилась на расстояние равное

поэтому расстояние в воде между началом импульса и его концом равно

 Такая длина сигнала сохраняется и после отражения от дна. Прием импульса закончится в тот момент, когда лодка встретится с задним концом импульса. По-скольку скорость их сближения равна v3 + v, то продолжительность приема равна

откуда

 Решим задачу в системе отсчета «лодка». В этой системе отсчета импульс удаляется от лодки со скоростью v3 − v, а приближается, после отражения от дна, соответственно, v3 + v. Длина же импульса сохраняется постоянной, тогда

приравниваем

 Решая последнее уравнение относительно скорости лодки v:

 Ответ задачи, естественно, не должен зависеть от выбора системы отсчета, а вот скорость и время зависят какой метод вы выберете при решении задачи.

Пловец переплывает реку.

 109(Задача 9). Пловец переплывает реку шириной L по прямой, перпендикулярной берегу, и возвращается обратно, затратив на весь путь время t1 = 4 мин. Проплывая такое же расстояние L вдоль берега реки и возвращаясь обратно, пловец затрачивает время t2 = 5 мин. Во сколько раз б скорость пловца относительно воды превышает скорость течения реки?

 Решение.
 Согласно закону сложения скоростей скорость пловца относительно неподвижной системы отсчета (берега) v равна векторной сумме его скорости относительно воды vo и скорости течения u:

 В первом случае, когда пловец пересекает реку по прямой, перпендикулярной берегу, v ⊥ u, так, что векторы v, vo, u образуют прямоугольный треугольник.
Следовательно,

и время, за которое пловец переплывает реку туда и обратно:

 Во втором случае, когда пловец плывет вдоль берега, его скорость в неподвижной системе отсчета v1 = vo + u при движении по течению, и v1 = vo − u при движении против течения. Следовательно, время, которое пловец затрачивает для того, чтобы проплыть вдоль берега расстояние L и вернуться обратно:

 Решая систему уравнений (1), (2) относительно vo и u, находим:

 Откуда

Жонглер бросает вертикально вверх шарики.

 110(Задача 10). Жонглер бросает вертикально вверх шарики с одинаковой скоростью через равные промежутки времени. При этом пятый шарик жонглер бросает в тот момент, когда первый шарик возвращается в точку бросания. Найдите максимальное расстояние между первым и вторым шариками, если начальная скорость шариков vo = 5 м/c. Ускорение свободного падения принять g = 10 м/c2. Сопротивлением воздуха пренебречь.

 Решение.
 Для описания движения шариков выберем координатную систему с началом в точке бросания, направив ось Oy вертикально вверх. Время будем отсчитывать с момента бросания первого шарика. Тогда координаты 1-го и 2-го шариков будут описываться следующими кинематическими уравнениями:

где T − промежуток времени между бросаниями шариков.
 Поскольку полное время полета каждого из шариков

а, по условию задачи, жонглер бросает 5-й шарик в момент, когда 1-й шарик возвращается в исходную точку

причем 1-й и 2-й шарики находятся в полете одновременно в интервале времени

(см. рисунок, на котором сплошными линиями изображены зависимости координат шариков от времени).

 Расстояние между 1-м и 2-м шариками в этом интервале

 График зависимости этой величины от времени изображен на рисунке штриховой линией.
 Анализ последнего выражения показывает, что оно достигает максимума при t = T и при t = 4T, т. е. в момент бросания 2-го шарика и в момент возвращения 1-го шарика в исходную точку. Подставляя в выражение для расстояния между шариками любое из этих значений времени, получаем ответ: