Решение
Массу конструкции можно принять пропорциональной предельным пластическим моментам и длинам стержней. Тогда получим целевую функцию
, (1)
где
, 
.
Здесь b, h – размеры прямоугольного поперечного сечения, 
–предел текучести материала.
Данная балка 2 раза статически неопределимая. Эквивалентная система метода сил имеет вид по рис.2, где 
лишние неизвестные. Выразим через них максимальные пролётные моменты 
, 
.
Перепишем их в виде, совпадающем с каноническим
(2)
Условия прочности (пластичности) в опасных сечениях 1, 2, 3, 4 имеют вид:
, 
, 
(3)
, 
. (4)
Здесь условия прочности для сечения 3 выписаны дважды: слева и справа.
Для приведения к каноническому виду в среде Matlab двойные неравенства (3), (4) перепишем в виде
, .
, 
, 
, 
(5)
, 
, 
, 
, 
(6)
В компьютерной программе на языке Matlab каноническая математическая модель данной задачи представлена целевой функцией (1) равенствами (2), неравенствами (5), (6).
Рассмотрим конкретный пример. Пусть параметры имеют следующие значения:
Компьютерная программа, реализующая математическую модель, привела к результатам:
и графику для эпюры изгибающих моментов
2.Рамы
Пример. Дана рамная конструкция с преобладающим изгибом, изображённая на рис.1. Она состоит из 2-х элементов: ригеля и стойки. Требуется подобрать их сечения, чтобы рама обладала минимальной стоимостью.
Решение
Примем стойкость конструкции прямо пропорциональной предельным пластическим моментам и длинам стержней. Тогда получим целевую функцию
, (1)
где h, l – размеры стойки и ригеля, 
– пластические изгибающие моменты в сечениях. Например для прямоугольного сечения они определяются формулой
,
b, h – геометрические размеры, 
– предел текучести материала.
Рама один раз статически неопределима. Эквивалентная система имеет вид по рис. 2, где 
лишняя неизвестная. Максимальные моменты по участкам рамы будут в сечениях 1, 2, 3. 
и 
можно выразить через 
и другие параметры системы:
В каноническом виде равенств для Matlab-а они примут вид
(2)
Условия прочности (пластичности) в опасных сечениях 1, 2, 3 имеют вид:
. (3)
Здесь условия для сечения 3 выписаны дважды: для сечений стойки и ригеля.
Для приведения к каноническому виду в среде Matlab двойные неравенства (3) перепишем в виде
, (4)
. (5)
(1), (2), (4), (5) в совокупности представляют математическую модель сформулированной задачи по минимизации стоимости рамного сооружения.
Пример. Пусть параметры системы имеют следующие значения:
Компьютерная программа на языке Matlab, реализующая математическую модель привела к результатам:
,
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 |
