Оптимизация конструкций и технологий (стр. 3 )

и графику для эпюры изгибающих моментов рис.3.

3.Фермы

Пример 1. Заданы схема, размеры и нагрузка симметричной фермы (рис. 1). С целью упрощений расчётные сопротивления для растянутых и сжатых стержней приняты одинаковыми Исходные данные будут следующими: стержень 4 имеет длину , с участками, могущими изменяться по длине м, м. Параметры a и b введены для придания решению многовариантности. Плотность материала кг/м.

Требуется найти наилегчайшую статически определимую ферму, которая может быть получена из заданной путём устранения лишнего стержня.

Решение

,  ,  м;  Оптимизируемыми переменными будут площади поперечных сечений стержней. В качестве целевой функции выберем общую массу фермы, которая определяется функцией:

.  (1)

Определим тригонометрические функции углов, необходимые для последующих вычислений

Уравнения равновесия узлов (равенства)

.  ,  (2)

  .  (3)

  ,  (4)

  .  (5)

  ,  (6)

.  .  (7)

Ограничения снизу и сверху (условия прочности):

,  ,  (8)

R – расчётное сопротивление материала. Приведём их к канонической форме среды Matlab, т. е. двойные неравенства (8)  перепишем в следующем виде:

        (9)

Ранг матрицы коэффициентов неравенств (9) . Это – следствие статической неопределённости фермы.

       Между обозначениями переменных здесь и обозначениями канонической математической модели, заложенной в Matlab-е, имеется соответствие

.

В компьютерной программе на языке Matlab каноническая математическая модель данной задачи представляется целевой функцией (1), равенствами (2), (3), (5), (7), неравенствами (9). Компьютерная программа, реализующая её при значениях параметров:

a = 2,  b = 0,6,

привела к результатам:

  .

Из них следует, что третий стержень является лишним, так как её площадь сечения и продольная сила равны нулю с точностью погрешности вычислений (округлений). Общая масса оптимальной фермы равна 320 кг и после удаления третьего стержня принимает вид на рис. 3.

Пример 2

Задана расчётная схема и исходные данные: силы кН,  кН,  кН,  кН,  размеры  b = 1 м,  h = 1 м, модуль упругости и плотность материала ГПа, кг/м3, расчётное сопротивление (предел текучести) МПа.

Требуется определить площади поперечных сечений стержней, соответствующие минимуму массы конструкции в условиях упруго-пластической работы материала.

Решение

Количество необходимых стержней для фермы подсчитывается по формуле

,

где У – количество узлов, - количество опорных стержней. Один стержень данной фермы лишний. Это означает, что она 1 раз статически неопределима.

Длины стержней:

м.

Функции углы наклона стержней 7,8,9,10 к оси x-ов:

Определим опорные реакции из уравнений равновесия

,  кН.

,  кН,

,  кН.

Ограничениями в виде равенств будут уравнения равновесия узлов. Стержни 7-10 наклонены к горизонту под углом .

  (1)

  (2)

  (3)

.

  (4)