Оптимизация конструкций и технологий (стр. 5 )

  (3)

.  (4)

Система уравнений и неравенств (1) - (4) представляет математическую модель в виде задачи линейного программирования, которую можно реализовать в среде вычислительного комплекса Matlab.

Пример. Пусть .

Использование указанного комплекса даёт результат решения в виде вектора

и искомого значения наибольшей нагрузки

.

Первый столб не нагружен, вся нагрузка передаётся на остальные столбы.

II. Организация и планирование

1.Строительство складов

Фирма специализируется на строительстве двух типов складов I и II. Известны производственные и ресурсные возможности фирмы, рыночные стоимости складов. Требуется определить, сколько можно построить складских помещений, чтобы выручка от их продажи была максимальной.

Исходные данные к транспортной задаче линейного программирования представлены таблицей

Наименование основных показателей	Типы складских помещений	Имеющиеся ресурсы
I	II
1	2	3	4
1.Рыночная стоимость складского помещения (у. е.),	150	120
2. Трудоёмкость изготовления каркаса одного складского помещения, чел.-ч	70	170	1600
3.Трудоёмкость по изготовлению дверей, перегородок, полов на одно складское помещение, чел.-ч.	8	8	130
4.Машиноёмкость работ по подготовке фундамента	4	5	100
5.Машиноёмкость монтажа каркаса складского помещения автомобильным краном, маш.-ч.	-	2	20
6.Трудоёмкость по возведению оборудования одного складского помещения, чел-ч.	125	100	1500

Решение

Введём обозначения: - количество изготавливаемых складских помещений; - рыночные стоимости складских помещений.

Переходя к составлению математической модели запишем целевую функцию в виде линейной функции

        (1)

Соответствующие ограничения логически вытекают из вышеприведённой таблицы и имеют вид:

,         (2)

где 

(1), (2) представляют задачу линейного математического программирования. Она станет канонической в Matlab-е, если функцию (1) умножить на -1.

Компьютерная программа, составленная с учётом такого замечания привела к результатам

.

При этом ресурсы, указанные в таблице и в векторе b, будут использованы в количествах: 1505; 105; 58,5; 11,7; 1500. Дробные числа, полученные в ответе, могут использоваться фирмой с округлением или без округления в зависимости от текущей или перспективной ситуацией деятельности фирмы.

2.Транспортная задача

В городе имеется 2 бетонных завода. Строительная фирма планирует получить в течение недели из первого завода 400 т бетона, из второго 560 т. Бетон должен быть отправлен на 4 строительные площадки в количествах: 220, 200, 180, 360 тонн соответственно. Стоимость перевозки 1 тонны бетона с каждого завода на каждую стройплощадку известна и даётся таблицей:

Таблица 1

Бетонные заводы	Строительные площадки	Количество тонн	Стоимость перевозки 1 т.
1	1		20
2		10
3		30
4		20
2	1		20
2		30
3		30
4		10

Здесь количество бетона перевозимого по маршрутам.

Требуется перевезти бетон с заводов на строительные площадки с минимальной стоимостью.

Решение

Условия задачи для наглядности изобразим в виде схемы перевозок.

Целевая функция, оптимизирующая общую стоимость перевозки имеет вид

                                          (1)

где - векторы, F – общая стоимость, - тариф при перевозки по маршрутам, показанным на схеме, - объёмы перевозок по ним.

Данная задача принадлежит классу транспортных задач. Она может быть эффективно решена при приведении к задаче линейного программирования в канонический форме, которая заложена в вычислительном комплексе Matlab. Целевая функция (1) соответствует требуемой форме. Система ограничений, наложенная на вектор x, должна соответствовать объёмам отпуска с заводов и объёмам потребления на стройплощадках. В соответствии с таблицей 1 и схемой перевозок они принимают вид:

                               (2)

(1), (2) образуют математическую модель задачи, решение которой необходимо программировать в среде Matlab.

В результате счёта получено оптимальное решение:

Общая стоимость перевозки . С первого завода на стройплощадку 4 и со второго завода на стройплощадку 2 поставки равны нулю (почти).

3.Оптимальная работа бригады

В распоряжении бригады имеются следующие ресурсы: 300 кг металла, стекла, 160 чел.-ч (человеко-часов) рабочего времени. Бригаде поручено изготовить два изделия – A и B. Цена одного изделия A – 10 тыс. руб., для его изготовления необходимо 5 кг металла, стекла, 2 чел.-ч. рабочего времени. Цена одного изделия B – 12 тыс. руб., для его изготовления необходимо 5 кг металла, стекла и 3 чел.-ч. рабочего времени. Требуется выпуск продукции максимальной стоимости.

Решение

Для наглядности условие задачи изобразим в виде схемы, где цифры на стрелках показывают ресурсы, необходимые на одно изделие.

Полная стоимость планируемой продукции является целевой функцией

,                                 (1)

где   - количество изделий А, - количество изделий В.

Формулировка ограничений, наложенных на вектор x, должна соответствовать наличным ресурсам по условию задачи и канонической форме их представления в Matlab-е. Поэтому они имеют вид:

                                        (2)

Программа Matlab-а определяет минимум функции F(x). Поэтому в компьютерную программу данной задачи необходимо вносить соответствующие изменения. С этой целью функцию (1) в программе следует умножить на -1.