,
.
(5)
(6)
Предельное состояние (текучесть) стержня наступает при достижении предельной силой значения
(7)
где 
- площадь поперечного сечения.
Предельное состояние конструкции наступит, когда некоторое количество стержней окажется в состоянии текучести. Оптимальным окажется конструкция, удовлетворяющая целевой функции
(8)
при выполнении ограничений – равенств (1)-(6). Здесь F соответствует общему объёму стержней и может быть легко переведена в массу, вес.
Дополнительные ограничения-неравенства (условия прочности) будут в виде
(9)
Приведём их к канонической форме среды Matlab, т. е. двойные неравенства перепишем в виде
. (10)
Уравнения (1) - (6) позволяют записать для модели задачи, приведённой в начале данных записей, равенство
, (11)
где в качестве х выступает вектор 
.
Уравнения (10) представляют неравенства
.
Здесь 
- нулевой вектор.
Нижние и верхние ограничения lb, ub следует задать достаточно большими, чтобы они превышали по своим значениям возможные значения 
. При этом lb должны быть отрицательными.
В результате решения задачи в системе Matlab получены площади поперечных сечений
см2 (12)
и значения продольных сил
кН. (13)
Отсюда следует, что 6-ой и 10-ый стержни не будут нагружены. Один из них может быть оставлен по конструктивным соображениям (например, 6 для поддержания стержня 2).
Расчёты, приведённые выше, выполнены по условиям прочности (9). Для стержней, оказавшихся сжатыми, этого недостаточно, так как они могут потерять устойчивость. Поэтому им следует придать достаточную жёсткость на изгиб. Это означает, что подбирая сечение таких стержней по площадям (12), необходимо им придать такую геометрическую форму, имеющую достаточный осевой момент инерции. Определим их. С этой целью приравняем сжимающие продольные силы (13) к критическим эйлеровым силам
Отсюда имеем:
Вычисления дали
J = {1,52; 3,04; 4,30; 25,78} см4.
Трёхстержневая система
Заданы система (рис.1), сила P, углы наклона, длины стержней 
. Требуется определить площади сечений 
, соот-ветствующие наименьшему весу конструкции в условиях упруго-пластической работы материала (рис. 2).
Решение
Текучесть материала начинается при 
, 
– предел текучести. Стержень будет течь при значении продольной силы 
, 
– площадь поперечного сечения. Предельное состояние данной конструкции наступит тогда, когда какие-либо два стержня будут течь. Ему соответствует значение 
. Требование задачи состоит в том, чтобы найти такие три площади сечения, что при заданном значении силы Р, два стержня будут течь.
Вырежем узел С и покажем действующие в сечениях продольные силы 
.
Уравнения равновесия данной системы сил имеют вид:
Вес конструкции можно принять пропорциональной предельным пластическим силам 
и длинам стержней 
. Тогда целевая функция примет вид
(1)
где 
.
Пример. 
Н, 
, 
м, 
м, 
м, нижние значения 
, верхние значения 
Н. По этим данным составлена матлаб-программа, которая выдала результаты:
Нм, 
Н, 
, 
Н.
По этим значениям сил определены оптимальные значения площадей:
см
, 
, 
см
.
Стержень 2 не нужен.
4.Плита
Прямоугольная жёсткая плита лежит на четырёх столбах, каждый из которых способен выдержать нагрузку N (рис.1). В точке А прикладывается сосредото-ченный груз Р. Требуется найти его максимальное значение, пренебрегая дефор-мациями плиты и столбов.
Решение
В указанном случае плита является абсолютно твёрдым телом, плоскость которого поворачивается в пространстве. Целевая функция будет представляться как одно из уравнений равновесия, а именно равновесие в направлении оси z-ов
, (1)
где 
- опорные реакции, которые удовлетворяют условиям прочности
. (2)
Совокупность сил, приложенных к плите, является параллельной системой, для которой можно составить три уравнения равновесия. Одна из них использована как целевая функция (1). Два других уравнения представляют собой равенства нулю сумм моментов относительно осей x, y и служат ограничениями - равенствами для целевой функции:
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 |
