ЛЕКЦИЯ №13
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
Цель урока: Формирование понятия геометрической прогрессии как одного из видов последовательностей, вывод формулы n-го члена, знакомство с характеристическим свойством членов арифметической прогрессии. Решение задач.
Числовую последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предшествующему, умноженному на одно и тоже отличное от нуля число q называют геометрической прогрессией. Это число q называют знаменателем геометрической прогрессии:
bn+1 =bn · q, где bn ≠ 0, q ≠ 0
Чтобы задать геометрическую прогрессию, достаточно задать ее первый член и знаменатель прогрессии.
Геометрическая последовательность является возрастающей,
если b1 > 0, q > 1,
Например: 1, 3, 9, 27, 81,....
Геометрическая последовательность является убывающей,
если b1 > 0, 0 < q < 1
Например: 
Пример геометрической прогрессии: 2; 6; 18; 54; 162.
Здесь каждый член после первого в 3 раза больше предыдущего. То есть каждый последующий член является результатом умножения предыдущего члена на 3:
2 · 3 = 6
6 · 3 = 18
18 · 3 = 54
54 · 3 = 162.
Знаменатель геометрической прогрессии.
Знаменатель геометрической прогрессии – это число, равное отношению второго и любого последующего члена к предыдущему члену прогрессии. Ее обычно обозначают буквой q.
В нашем примере при делении второго члена на первый, третьего на второй и т. д. мы получаем 3. Число 3 и является знаменателем данной геометрической прогрессии.
Свойства геометрической прогрессии:
1) Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению двух соседних членов, стоящих перед ним и после него:
|
|
2) Верно и обратное утверждение: если в последовательности чисел квадрат любого ее члена, начиная со второго, равен произведению двух соседних членов, стоящих перед ним и после него, то эта последовательность является геометрической прогрессией:
Пример:
Вернемся к нашей геометрической прогрессии 2; 6; 18; 54; 162. Возьмем четвертый член и возведем его в квадрат:
542 = 2916.
Теперь перемножим члены, стоящие слева и справа от числа 54:
18 · 162 = 2916.
Как видим, квадрат третьего члена равен произведению соседних второго и четвертого членов.
Как найти определенный член геометрической прогрессии.
Чтобы найти n-й член геометрической прогрессии, следует применить формулу:
bn = b1 · qn – 1
Пример 1: Возьмем некую геометрическую прогрессию, в которой первый член равен 2, а знаменатель геометрической прогрессии равен 1,5. Надо найти 4-й член этой прогрессии.
Дано: b1 = 2
q = 1,5
n = 4
Найти: b4 - ?
Решение:
Применяем формулу bn = b1 · qn – 1, вставляя в нее соответствующие значения: b4 = 2 · 1,54 – 1 = 2 · 1,53 = 2 · 3,375 = 6,75.
Ответ: Четвертый член заданной геометрической прогрессии – число 6,75.
Пример 2: Найдем пятый член геометрической прогрессии, если первый и третий члены равны соответственно 12 и 192.
Дано: b1 = 12
b3 = 192
Найти:
b5 - ?
Решение:
1) Сначала нам надо найти знаменатель геометрической прогрессии, без которой решить задачу невозможно. В качестве первого шага с помощью нашей формулы выводим формулу для b3:
b3 = b1 · q3 – 1 = b1 · q2
Теперь мы можем найти знаменатель геометрической прогрессии:
b3 192
q2 = —— = —— = 16
b1 12
q = √16 = 4 или –4.
2) Осталось найти значение b5.
Если q = 4, то
b5 = b1q5-1 = 12 · 44 = 12 · 256 = 3072.
При q = –4 результат будет тот же. Таким образом, задача имеет одно решение.
Ответ: Пятый член заданной геометрической прогрессии – это число 3072.
Пример 3.
Дана геометрическая прогрессия b1, b2, b3, ..., bn, ... .
Известно, что b1 = 2/3, q = - 3.
Найти: b6
Решение:
В этом случае в основе решения лежит формула n-го члена геометрической прогрессии.
Подставив в эту формулу n = 6 получим:
b6 = b1 · q5 = 2/3 · (-3)5 = -162
Ответ: -162.
Вопросы:
Что называется геометрической последовательностью? Формула п-го члена геометрической прогрессии. Определение геометрической прогрессии. Что называется знаменателем геометрической прогрессии? Если в геометрической прогрессии знаменатель положителен q>0, то какой является прогрессия? Если в геометрической прогрессии знаменатель отрицателен q>0 , то какой является прогрессия? Как задать геометрическую прогрессию?