Тема: «Формула n-го члена геометрической прогрессии». (9 класс)
Цели:
Образовательная: рассмотреть вывод формулы n-го члена геометрической прогрессии; Воспитательная: способствовать дальнейшему развитию логического мышления; Практическая: научить учащихся использовать формулу при решении задач.Оборудование: таблица «Прогрессии», диафильм «Геометрическая прогрессия».
Оформление доски:
Классная работа число
Формула n-го члена геометрической прогрессии.
1000,100,10,0,1.
1;1,1;1,11;1,111.
-1,10,-100,1000.
3,5,8,12.
5-2, 5-1, 50,5,…
Повторение.Цель: закрепление полученных знаний по теме Геометрическая прогрессия, подвести к изучению новой темы.
Метод: репродуктивный, форме: устные упражнения.
Дайте определение геометрической прогрессии.Числовая последовательность, первый член который отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число, называется геометрической прогрессией.
Какое свойство геометрической прогрессии вы знаете?Любой член геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему пропорциональному предшествующего и последующего членов.
Указать какие из данных последовательностей являются геометрической прогрессией? Найти знаменатель геометрической прогрессии.1000;100;10;0,1:
-1,10,-10,1000,….
3,5,8,12
1;1,1;1,11;1,111;….
-5-2, 5-1,50, 51, 52, …
Как найти знаменатель геометрической прогрессии, если известны два её первых члена X1, X2? Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если известны два любых его члена Xк, Xк+1 Объяснение нового материал.Метод: частично – поисковый.
Форма: беседа.
Время:15-18минут.
Дана геометрическая прогрессия (вn), первый член которой в1 =6,знаменитель q=2.Найти 2-й, 3-й, 4-й, 5-й члены данной геометрической прогрессии.
Ответы записываются на доске и в тетрадях - самостоятельно?
в2=6*2,
в 3=6*2*2
в4=6*2*2*2
в5=6*2*2*2*2
Нахождение членов с достаточно большими номерами путем последовательных вычислений неудобно.
В1: Как же можно выразить в3, через в1 и q в данном случае?
в3 =6*2*2=6*22.
Найдём теперь 3-й член геометрической прогрессии (вn), если известны 1-й член в1 и знаменатель q данной прогрессии.
В2: Чем будем пользоваться для нахождения 3-го члена геометрической прогрессии?
В3: Чему равно в2 данной прогрессии?
в2 = в* q - записи на доске делаются.
В4: Как же найти в3?
в3 =в2* q = в1* q* q = в1* q2
В5: А как найти в1,в5, зная в1 и знаменатель?
в4 =в3*q=(в1* q2)* q=в1* q3
в5 =в4* q=(в1* q3)* q=в1* q4
В6: Как найти любой член прогрессии, зная 1-й член и знаменатель.
в5=в1* q5-1=в1* q4
в1=6, q=2.
в5-?
в5=6*24.
- Формула геометрической прогрессии.
Эту формулу запишите в тетради и запомните её.
Закрепление.Метод: решение упражнений устно и письменно.
Время:20 минут.
Смотрим диафильм «Геометрическая прогрессия».
Старинная легенда рассказывает, что изобретатель шахматной игры на вопрос индусского принца Аногради ответили так: мне много не нужно положи на 1-ую клетку - одно зерно, на 2-ую - 2, на 3 –ую-4, на 4-ую-8.Сколько зёрен нужно положить на клетку, на 10-ую, на 64-ую клетку?
В1: Какая последовательность рассматривается в задаче?
О1: В задаче рассматривается геометрическая прогрессия.
В2: Чему равен 1-й член и знаменатель прогрессии?
в1=1,q=2-записи делаются на доске.
Запишите рекуррентную формулу геометрической прогрессии.
вn =в1qn-1
В3: Сколько зерен нужно положить на пятую клетку на 10-ую на, 64-ую клетку?
О3: в5=в1 q5-1=в1*q4=1*24
в10 =в1 q10-1= в1 q9=1*29
в64=в1* q64-1 =в1 q63=1*263
Решаем устно задачи
№1 Пусть (xn)- геометрическая прогрессия, первый член который равен x1,а знаменатель q. Выразите через x1 и q:
а) x5; б) x21; в) x150; г) xm; д) xm+2; е) x2k+1.
В1: Что нам дано?
О1: x1 и q
В2: Что требуется найти?
О2: Надо выразить через x1 и q члены прогрессии.
В3: Какой формулой будем пользоваться?
О3: вn=в1qn-1
В4: Чему же равно x5, x21, x150, xm, xmp2, x2k+1?
а) х5=х1*q5-1=x1q4;
б) х21=х1*q21-1=x1q20;
в) х150=х1*q150-1=x1q149;
г) хm=х1*qm-1;
д) хm+2=х1*qm+2-1;
е) х2k+1=х1*q2k+1-1= х1*q2k;
№2. (у доски с коллективным поиском)
В геометрической прогрессии (Un). u1=256; q=.
Найдите а) u3; б) u5; в) u10; г) un.
Решение:
u3= u1* q3-1= u1* q2=256*=64;
u5= u1* q5-1= u1* q4=256*
)4=256*=16;
u10= u1* q10-1= u1* q5=256* 
)5=256*=8;
un= u1* qn-1=256* 
)n-1.
Решаем письменно на доске и в тетрадях упражнения.
№3.Найдите первый член геометрической прогрессии (вn),если:
а) в8=384, q=2.
В1: Что дано в данной задаче?
О1: в8=384, q=2.
В2: Какую формулу будем исполнять для нахождения 1-го члена данной прогрессии?
О2: вn=в1 qn-1
В3: Как найти из этой формулы в1 и чему он равен:
О3: в1=вn/qn-1,в1=в8/q8-1=в8/q7=384/27
В4: Чему равен в1,если в8=348
О4: в1=вn/qn-1=384/27 =
3
В5: Чему равен в1,если в6=
, q=
.
в6 =в1 q6-1 =в1 q5
в1=в6/ q5=
/ (
)5= 
(
)=(
)= 
3
Ответ: а) в1=3, б) в1=
3.
№4(а, б). Найдите знаменатель геометрической прогрессии (вn), если
а) в1=2, в8=256.
б) в1=5, в9=1280.
В1: Какой формулой будем пользоваться для решения этой задачи?
О1: вn =в1qn-1
В2: Как найти из этой формулы qn-1?
О2: qn-1=вn/в1.
В3: Чему равен q отсюда, если
в1=2, в8=256
в8= в1q8-1= в1q7
q7= в8/ в1=
=128
q7=128
q7=27
q=2
В: Чему равен q, если в1=5, в9=1280
в9= в1q9-1= в1q8
q8=в9/в1
q8=256
q8=28 или q8=(-2)8
q=2 или q=-2
Ответ: а) q=2: б) q=2 или q=-2
Самостоятельная работа.№1. В геометрической прогрессии (вn) известны её первый член в1 и знаменатель q, найдите вn, если:
I В. а) в1=56, q=, n=7;
б) в1=0,125, q=-2, n=6.
II В. а) в1=4
, q=
, n=9;
б) в1=0,003, q=
, n=7.
№2. Найдите знаменатель геометрической прогрессии (вn), если:
I В. в6=25, в8=9;
II В. в4=2, в7=-54;
Задания на дом:П.16, № 000(а, б),№ 000(а, б), № 000.
