Описание препроцессора (стр. 7 )

Для задачи генерации конечно-элементной сетки этого критерия недостаточно, дело в том, что функции, значения которых мы хотим получить в узлах сетки, нелинейны, при этом они могут иметь области с большими значениями своих производных (области концентрации напряжений). При больших размерах конечного элемента, велик риск попросту упустить максимальные значения напряжений, поэтому был введен еще один критерий — условие максимальной площади треугольника. Сочетание этих двух ограничений гарантирует, что в сетке углы всех треугольников не менее значения, заданного пользователем, а площади всех треугольников не более другого значения, также задаваемого пользователем.

Математически доказано, что критерий минимального угла автоматически обеспечивает сгущение сетки вблизи мелких подробностей: отверстий, углов, вырезов, т. е. концентраторов напряжений. А критерий максимальной площади является дополнительным, регулирующим размер треугольников.

Введение этого критерия было необходимо для адаптации этого алгоритма к методу конечных элементов. Этот дополнительный критерий снижает «эффективность» получаемого разбиения, т. к. введением этого критерия мы ограничиваем площадь треугольников сверху, тем самым, увеличивая количество треугольников в получаемой сетке. Но, задав минимальную площадь треугольника достаточно большой, можно сделать так, что фактически будет работать только критерий минимального угла.

Все описанные процедуры выполняются в определенной последовательности, они имеют разный приоритет. Общая схема работы алгоритма следующая:

Производится поиск включенной (encroached) точки перебором всех точек и сегментов (только сегментов, но не граней). Если такая точка найдена то над сегментом, который включает ее выполняется процедура деления сегмента пополам и производится возврат на шаг 1. Если включенных точек не было найдено, то алгоритм переходит на следующий шаг. Производится поиск треугольника с минимальным углом. Если минимальный угол меньше заданного параметра, то над треугольником, его содержащем производится процедура деления и производится возврат на шаг 1. В противном случае происходит переход на следующий шаг. Производится поиск треугольника максимальной площадью. Если максимальная площадь больше заданного параметра, то над таким треугольником производится процедура деления и производится возврат на шаг 1. В противном случае происходит переход на следующий шаг. Все условия удовлетворены. Конец работы алгоритма

Автор в своей работе приводит строгие математические доказательства, гарантирующие правильную работу алгоритма при минимальном угле б < 20°.

Модификация алгоритма Рапперта

В работе для Journal of Algorithms раскрыт только лишь чисто математический аспект проблемы, хотя вероятней всего алгоритм разрабатывался для решения прикладных задач и для генерации конечно-элементной сетки в том числе. К тому же, и математическая сторона была раскрыта не полностью, а только лишь с точки зрения сходимости и некоторых особенностей. Ряд самых неочевидных подводных камней не поднимается на обсуждение. Видимо это объясняется тем, что это проект NASA и, вероятно, имеет какую-то степень закрытости.

В том варианте, в котором он был предложен автором, алгоритм не обладал хорошей сходимостью и устойчивостью. Опытным путем было установлено, что углы б > 25° были недоступны для него. Для повышения качества работы алгоритма, помимо двух вышеперечисленных процедур была введена еще одна — процедура поворота диагонали. К сожалению, автор опустил этот момент и не упомянул о нем, несмотря на то что, ее роль в работе алгоритма очень высока. Эта процедура, на самом деле, неявно присутствует в оригинальном алгоритме Рапперта, но все же эту процедуру лучше выделить в отдельную и остановиться на ней подробно. Это упрощает и понимание работы алгоритма, и его программирование. На рисунках видно, что помимо непосредственного добавления новых треугольников, производятся и еще некоторые операции. Эти операции есть ничто иное как смена диагонали.

Суть ее заключается в следующем. Два треугольника, имеющие общую грань, образуют четырехугольник, разделенный диагональю. Внутри такого образования диагональ имеет два возможных положения. На рисунке показаны эти положения — отрезки ac и bd.

Описание взаимодействия препроцессора с подсистемой триангуляции сетки методом Рапперта

Подсистема триангуляции сетки методом Рапперта принимает на вход два файла – Result1.bin и Result2.bin. В препроцессоре реализована процедура генерации этих файлов для любых типов сетки. При завершении работы с подсистемой результаты триангуляции будут загружены в препроцессор. Имя будущей сетки определяется ещё в препроцессоре при импорте в подсистему.

Главное окно подсистемы рапперта

Назначение: объединяет все модули подсистемы и организовывает работу с различными вариантами модифицируемой сетки конечных элементов.

Подсистема подверглась изменениям, необходимым для корректного взаимодействия с препроцессором. Также из системы были изъяты функции отображения сетки и её анализа, т. к. они уже реализованы в препроцессоре. Подсистема используется исключительно в качестве модуля внесения изменений, визуализация же результатов её работы происходит уже в препроцессоре при сохранении варианта сетки.

Подсистема задания закреплений

Для дальнейшего расчета пластины необходимо указать граничные условия (закрепления). Закрепляются узлы конечных элементов. Узел может быть закреплен по оси X или по оси Y, или сразу по двум осям.

Закрепления задаются на основе линий. Для задания закреплений необходимо указать линию, и система автоматически определить узлы КЭ, которые лежат на этой линии.

Так же пользователю предоставляется возможность выбрать закрепляемые линии кликом по рабочей области. В любом случае, успешно закрепление линии будет сопровождено визуализацией:

Отображение закрепленной линии

Подсистема задания нагрузок

Если по сторонам пластины или конечного элемента приложены распределённые внешние нагрузки, то их надо привести к узловым силам, так как в МКЭ внешние воздействия  могут прикладываться только в узлах.

При этом необходимо, чтобы силы, приложенные в узлах, находящихся в зоне приложения распределённой нагрузки, создавали в целом такое же эквивалентное воздействие, что и теоретическая распределённая нагрузка.

Существует много подходов к  распределению сил от неравномерной нагрузки по узлам и, в частности, исходят из следующего принципа: узловые силы эквивалентны внешним распределённым нагрузкам, если имеет место равенство их работ на возможных перемещениях.

Простейшее соблюдение этого принципа приводит к следующей схеме – к узлу прикладывается сила, равная интегралу от функции нагрузки в пределах от середин расстояний от данного узла до двух соседних нагруженных узлов, если все три узла лежат на одной прямой. В том случае, если данный узел имеет только один соседний нагруженный (нагрузка распространяется только до данного узла), то сила, приходящаяся на данный узел равна интегралу от функции нагрузки в пределах от данного узла до  середины расстояния до другого соседнего нагруженного узла.

Графически это можно представить заштрихованными площадями S1 для узла, имеющего два соседних нагруженных узла, и S2 для узла, имеющего только один соседний нагруженный узел.

Для вычисления площадей применяются методы приближённого вычисления интегралов, основанные на замене интеграла конечной суммой. Для вычисления промежуток от a = x0 до b = xn разбивается на n равных частей, и для точек деления x0, x1, x2, x3,…, xn-1, xn вычисляются значения y0, y1, y2, y3,…, yn-1, yn интегрируемой функции y(x). Затем применяется формула парабол (Симпсона) с учетом :

При задании нагрузок, аналогично заданию закреплений, указывается нагружаемая линия или линии (прямые линии должны лежать на одной прямой, дуги должны быть частью одной окружности), и система автоматически определит узлы КЭ, которые лежат на этой линии.

Приложение нагрузок.

Для анализа строк выражений, составленных из стандартных математических операторов +,-,/,*, функций sin, cos, скобок, применяется библиотека, с помощью которой можно переводить выражения из строковой формы инфиксной записи в обработанное представление, составленное в постфиксной нотации, и затем вычислять их.

Результат успешного приложения нагрузок:

Модуль назначения материалов

В данном препроцессоре реализована библиотека материалов с возможностью добавления новых материалов, их редактирования, а так же удаления.

Добавление нового материала:

Просмотр и редактирование имеющихся материалов:

Материалы назначать можно как группам КЭ, объединенных зонами, так и отдельным КЭ.

При этом материалы, используемые в модели, отображаются на экране вместе со всеми свойствами. Так же, любой из используемых материалов можно легко удалить из модели.  При этом все КЭ с этим материалом будут помечены как КЭ с незаданными свойствами.

Назначение материалов КЭ: