Геометрия 8 класс

Геометрия 8 класс

Определения

Многоугольник-геометрическая фигура, составленная из отрезков так, что смежные отрезки не лежат на одной прямой, а несмежные-не имеют общих точек.

Выпуклый многоугольник, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Параллелограмм-четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Трапеция-четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие-не параллельны.

Основания трапеции-её параллельные стороны, две другие не параллельные-боковые стороны трапеции.

Равнобедренна трапеция, если её боковые стороны равны.

Прямоугольная трапеция, если один из её углов прямой.

Прямоугольник-параллелограмм, у которого все углы прямые.

Ромб-параллелограмм, у которого все стороны равны.

Квадрат-прямоугольник, у которого все стороны равны.

Точки А и А1 симметричны относительно прямой, если эта прямая проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к нему.

Фигура симметрична относительно прямой, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно данной прямой также принадлежит этой фигуре(это осевая симметрия).

Ось симметрии-данная прямая, относительно которой происходит симметрия.

Точки А и А1 симметричны относительно точки О, если О середина отрезка АА1.

Фигура симметрична относительно точки, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре(это центральная симметрия).

Отношение отрезков АВ и СD-отношение их длин, т. е. .

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Отрезки АВ и СD пропорциональны отрезкам А1В1 и С1D1, если .

Стороны треугольника АВ и А1В1, ВС и В1С1, СА и С1А1 сходственны, если .

Два треугольника подобны, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого

где k - коэффициент подобия.

Средняя линия треугольника-отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Синус острого угла прямоугольного треугольника - отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинус острого угла прямоугольного треугольника - отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника – отношение противолежащего катета к прилежащему.

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника – отношение синуса к косинусу этого угла.

Касательная к окружности-прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку-точку касания прямой и окружности.

Полуокружность-дуга, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром окружности.

Центральный угол-угол с вершиной в центре окружности.

Серединный перпендикуляр к отрезку-прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная к нему.

Окружность, вписанная в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются окружности. А многоугольник, описанный около этой окружности.

Окружность, описанная около многоугольника, если все вершины многоугольника лежат на окружности. А многоугольник, вписанный в окружность.

Вектор(направленный отрезок)-отрезок, для которого указано, какой его конец является началом, а какой-концом.

Нулевой вектор, если начало совпадает с его концом.

Длина или модуль вектора - длина отрезка АВ.

Векторы коллинеарные , если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Векторы сонаправленные , если они направлены в одну сторону.

Векторы противоположно направленные , если они направлены в разные стороны.

Векторы равны, если они сонаправлены и их длины равны.

Сумма двух векторов (правило треугольника)-вектор с началом в начале первого вектора и концом в конце второго вектора.

Сумма n - векторов (правило многоугольника), если А1,А2,…,Аn-произвольные точки плоскости, то , где n_количество векторов.

Разность двух векторов и - вектор , равный сумме векторов и .

Произведение вектора на число k-вектор , длина которого , причем и при и при .

Средняя линия трапеции-отрезок, соединяющий середины её боковых сторон или середины её оснований (вторая средняя линия трапеции).

Правила и теоремы

5.1. Сумма углов выпуклого n-угольника равна , где n-количество сторон многоугольника.

5.2. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 3600.

5.3. Свойства параллелограмма:

10. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

20. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

5.4. Признаки параллелограмма:

10. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник параллелограмм.

20. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник параллелограмм.

30. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник параллелограмм.

5.5. Теорема Фалеса. Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

5.6. Свойство прямоугольника:

10. Диагонали прямоугольника равны.

5.7. Признак прямоугольника:

10. Если в параллелограмме диагонали равны, значит этот параллелограмм-прямоугольник.

5.8. Свойство ромба:

10. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

5.9. Свойства квадрата:

10. Все углы квадрата прямые.

20. Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

6.1. Свойства суммы многоугольников:

10. Равные многоугольники имеют равные площади.

20. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

30. Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

6.2. Теорема (о площади прямоугольника). Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

6.3. Теорема (о площади параллелограмма). Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

6.4. Теорема (о площади треугольника). Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

Следствия из теоремы:

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.

6.5. Теорема (о площади двух треугольников). Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

6.6. Теорема (о площади трапеции). Площадь трапеции равна произведению полу суммы её оснований на высоту.

6.7. Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

6.8. Обратная теорема Пифагора. Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

6.9. Свойства биссектрис параллелограмма:

10. Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

20. Биссектрисы смежных углов параллелограмма пересекаются под прямым углом.

30. Биссектрисы противоположных углов, равны и параллельны.

6.10. Свойства биссектрис трапеции:

10. Биссектриса отсекается от основания (или его продолжения на прямой за пределами самой фигуры) отрезок такой же длины, что и боковая сторона. .

20. Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются под прямым углом.

30. Точка пересечения биссектрис трапеции, прилежащих к боковой стороне, лежит на средней линии трапеции.

40. Точка пересечения биссектрис тупых углов при основании трапеции принадлежит другому основанию.

6.11. Свойство второй средней линии трапеции: Пусть средняя КN-вторая средняя линия трапеции с основаниями ВС и АD, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции М. Тогда .

7.1. Теорема (об отношение площадей подобных треугольников).Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

7.2. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

7.3. Признаки подобия треугольников:

Теорема 1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то эти треугольники подобны.

Теорема 2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то эти треугольники подобны.

Теорема 3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то эти треугольники подобны.

7.4. Теорема (о средней линии треугольника). Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

7.5. Свойство медианы треугольника:

10. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношение 2:1, считая от вершины.

7.6. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, делит треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.

7.7. Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы, косинусы и тангенсы этих углов равны.

8.1. Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности (d<r), то прямая и окружность имеют две общие точки.

8.2. Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности (d=r), то прямая и окружность имеют только одну общую точку.

8.3. Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности (d>r), то прямая и окружность не имеют общих точек.

8.4. Теорема (о касательной и радиусе). Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

8.5. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки. Равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

8.6. Теорема (признак касательной). Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.

8.7. Теорема (о касательной и секущей). Если из точки М, лежащей вне окружности, проведены касательная МС и секущая МВ, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть

, где А и В-точки пересечения с окружностью секущей соответственно, считая от М.

8.8. Если дуга АВ окружности с центром О меньше полуокружности или является полуокружностью, то её градусная мера считается равной градусной мере центрального угла АОВ. Если же дуга АВ больше полуокружности, то её градусная мера считается равной .

8.9. Сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна 3600.

8.10. Теорема (о вписанном угле). Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Следствия из теоремы:

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, - прямой.

8.11. Теорема (о произведении отрезков пересекающихся хорд). Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

8.12. Четыре замечательные точки треугольника: точка пересечения медиан, точка пересечения биссектрис, точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам и точка пересечения высот (или их продолжения).

Теорема (о биссектрисе угла). Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон. Обратно: каждая точка, лежащая внутри угла и равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе.

Следствие из теоремы: Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Теорема (о серединном перпендикуляре к отрезку). Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Обратно: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

Следствие из теоремы: Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Теорема (о пересечении высот треугольника). Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

8.13. Теорема (об окружности, вписанной в треугольник). В любой треугольник можно вписать только одну окружность.

8.14. В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

8.15. Теорема (об окружности, описанной около треугольника). Около любого треугольника можно описать только одну окружность.

8.16. В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 1800.

8.17. Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна 1800, то около него можно описать окружность.

8.18. Свойства равностороннего треугольника:

10. Высота, медиана и биссектриса, проведённые к каждой из сторон равностороннего треугольника, совпадают.

20. Точка пересечения высот, биссектрис и медиан называется центром правильного треугольника и является центром вписанной и описанной окружностей (то есть в равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают).

30. Расстояние от точки пересечения высот, биссектрис и медиан до любой вершины треугольника равно радиусу описанной окружности.

40. Все высоты равностороннего треугольника равны.

9.1. От любой точки можно отложить только один вектор, равный данному.

9.2. Теорема (правило параллелограмма). Для любых векторов и справедливы равенства: