Матричная модель многоуровневых задач по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессия»
Типы задач | Базисный уровень | ||
Знакомая задача | Модифицированная задача | Незнакомая задача | |
Базовая задача 1. Задачи, приводимые под понятие арифметической прогрессии | Из предложенных последовательностей выберите ту, которая является арифметической прогрессией: 1) 2; 5; 8; 11;14; 17;… 2) 3; 9; 27; 81; 243;… 3) 1; 6; 11; 20; 25;… 4) –4; –8; –16; –32;… 5) 5; 25; 35; 45; 55;… 6)–2; –4; – 6; – 8; – 10;… | Выпишите первые восемь членов арифметической прогрессии (аn), если: а) а1 = 1,7, d = -0,2; | Дано: (а n ) Найти: а16 – ? |
Базовая задача 2. Задачи, при решении которых используется характеристическое свойство арифметической прогрессии | Найдите среднее арифметическое чисел 4 и 10. Запишите в порядке возрастания найденное число с данными. Образует ли данная тройка чисел арифметическую прогрессию? | Найдите четвертый, пятый и шестой члены этой последовательности: 4;…;20;…;…;… | Найдите члены арифметической прогрессии (аn), обозначенные буквами а1; –8; а2; – 2; а5; 4 |
Базовая задача 3. Задачи, по нахождению одних параметров арифметической прогрессии an, a1, d, n, S n по известным двум. | 1. (аn ) – арифметическая прогрессия, а1 =10; d = – 0,1. Найди а4. 1) 9,7; 2) 97; 3) –97; 4) 10,3; 5) –10,3. Ответ: 1 | П р и м е р. Найти сумму первых ста нечётных чисел. Ответ: 10000 | 1. Найти первый член а1 и разность d арифметической прогрессии в котором
Ответ: а1=13, d=-1. |
Базовая задача 4. Задачи, приводимые под понятие геометрической прогрессии | Найдите первые пять членов геометрической прогрессии (bn), если: b1 = 6, q =2 Ответ: 6,12,24,48,96 | Найдите первые пять членов геометрической прогрессии (bn), если: b1 = 0,4, q = Ѕ; Ответ: 0,4; 0,2; 0,1; 0,05; 0,025 | В геометрической прогрессии b1; b2; 4; 8;…. Найди b1. 1) – 4; 2) 1; 3) 1/4; 4) 1/8; 5) – 1. Ответ: 3 |
Базовая задача 5. Задачи, при решении которых используется характеристическое свойство геометрической прогрессии | Найдите среднее геометрическое чисел 2 и Ответ: 1 | Найдите четвертый, пятый и шестой члены этой последовательности: 2,…; 1/4, 1/8,1/16 | Найдите члены геометрической прогрессии (bn), обозначенные буквами b1; –8; b3; – 2; b5; – Ответ: -16,-8,-4,-2,-1,… |
Базовая задача 6. Задачи, по нахождению одних параметров геометрической прогрессии bn, b1, q, n, S n по известным двум. | (bn) – геометрическая прогрессия. Найди b6 , если b1 = 4; q = 1/2 1)– 1/8; 2) 1,25; 3) 1/8; 4)12,5; 5) – 1,25. Ответ: 3 | Последовательность (сn) геометрическая прогрессия, первый член которой равен с1, а знаменатель равен q. Выразите через c1 и q: ck+3; Ответ: ck+3= c1 ∙ qk+2 | 1. Сумма первого и четвертого членов геометрической прогрессии равна 40, а сумма второго и пятого равна 10. Найти знаменатель прогрессии. Ответ: 0,25. |
Базовая задача 7. Задачи по теме «Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.» | Найти сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
Ответ:
| 5. Найти знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, сумма которой равна 1,6, если второй член равен (-0,5). Ответ: | 7. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 4, а сумма кубов её членов равна 192. Найти первый член и знаменатель прогрессии. Ответ: |
Базовая задача 8. Задачи смешанного характера на арифметическую и геометрическую прогрессию. | Сумма трех чисел, составляющих арифметическую прогрессию, равна 30. Если от первого числа отнять 5, от второго отнять 4, а третье число оставить без изменения, то полученные числа составят геометрическую прогрессию. Найти эти числа. Ответ: 8 ,10 ,12 или 17 ,10 ,3 . | 1. Три числа a, b, 12 в указанном порядке составляют возрастающую геометрическую прогрессию, а числа a, b, 9 – арифметическую прогрессию. Найти a+b. Ответ: 9. | Числа x, y и z образуют геометрическую прогрессию, а числа x+y, y+ z, x+ z образуют арифметическую прогрессию. Найти z, если x+y+z=15 и z<x. Ответ: z=20 |
Базовая задача 9. Задачи по применению арифметической и геометрической прогрессии к решению текстовых задач. | Курс воздушных ванн начинают с 15 мин. в первый день и увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день на 10 минут. Сколько дней следует принимать ванны в указанном режиме, чтобы достичь их максимальной продолжительности 1 час 45 минут? Ответ: 10 дней следует принимать ванны. | Через три года в банке оказалось 880 руб., положенных под 40% (простые) годовых. Каков первоначальный вклад? Ответ: первоначальный вклад 400 руб. | Если положить на вклад «Накопительный» некоторую сумму денег, то ежегодно она увеличивается на 10% от имеющейся на вкладе суммы. Вкладчик положил на вклад «Накопительный» 30000 рублей и три года подряд пополнял свой вклад и не снимал с него денег. Определите, на сколько рублей увеличился его вклад за эти три года. Ответ: 9930. |
Базовая задача 10. Задачи на комбинирование прогрессий и элементарных функций. | Пусть x1, x2 корни уравнения 12·x-x2=A, а x3, x4 корни уравнения 108·x-x2=В. Найти А, если известно, что последовательность x1, x2, x3, x4 – геометрическая прогрессия, все члены которой положительны.
x1, x2, x3, x4 – геометрическая прогрессия. x1, x1·q, x1·q2, x1·q3;
Ответ: | Решить уравнение Решение. Последовательность
Ответ: -1. | Решите неравенство:
Двое учащихся упрощают скобки в данном неравенстве. Сумма 6-ти слагаемых арифметической прогрессии равна (-18) . Сумма 6-ти слагаемых геометрической прогрессии равна 126. Неравенство перепишется в виде : (3х-18)(х+126)>0. Третий ученик решает его методом интервалов. Ответ: (– |
, а1 = – 3, а2 = 4.
. (средним геометрическим чисел a и b называется число 
). Запишите в порядке убывания найденное число с данными. Образует ли данная тройка чисел геометрическую прогрессию?
;…;…;…
. Все члены отрицательны.
, 
.
образует геометрическую прогрессию со знаменателем q = 
. По условию q ≠1 => х ≠1. Переформулируем задачу: сумма членов геометрической прогрессии 
равна 0. Найти х.
– не удовлетворяет условию задачи.
; -126) U (6; + 
).