БАНК ЗАДАЧ
ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ
ПО ГЕОМЕТРИИ
тема: «Теорема Пифагора»
ЗАДАЧИ ПЕРВОГО УРОВНЯ СЛОЖНОСТИ
1.В параллелограмме АВСD угол ∠А равен 45⁰, длина высоты ВЕ 4 см.
Найдите длину боковой стороны СD.
2. Выведите формулу для нахождения длины диагонали квадрата со стороной а.
3. Найдите гипотенузу прямоугольного равнобедренного треугольника с катетом а.
4. Выведите формулу для нахождения длины высоты равностороннего треугольника со стороной а.
5.Найдите высоту равнобедренного треугольника с основанием а и
боковой стороной b.
6. Найдите высоты треугольника со сторонами 10см, 10см. 12см (двумя способами).
7. Найдите диагональ и площадь ромба, если его сторона равна 10см, а другая диагональ равна 12см.
8.Найдите высоту равнобокой трапеции с основаниями 7см и 17см и боковой стороной 13см.
9. Диагонали ромба равны 14см и 48см. Найдите сторону ромба.
10.В треугольнике АВС угол ∠ А = 90⁰, ∠В = 30⁰, АВ=6см. Найдите другие стороны треугольника.
11. В прямоугольной трапеции основания равны 8см и 20см, а большая боковая сторона 17см. Найдите площадь трапеции.
12. В прямоугольной трапеции боковые стороны равны 15см и 9см, а большее основание равно 20см. Найдите площадь трапеции.
13. Одно основание прямоугольной трапеции вдвое больше другого, а боковые стороны равны 4 и 5. Найдите диагонали трапеции.
14. Найдите диагональ прямоугольника со сторонами 5 и 12.
ЗАДАЧИ ВТОРОГО УРОВНЯ СЛОЖНОСТИ
1.Выведите формулу для нахождения длины медианы, проведенной к катету, по известным длине второго катета а и гипотенузы с.
2.В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла проведена
высота ВD. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники АВD и ВСD, равны соответственно r1 и r2. Найдите радиус окружности r, вписанной в треугольник АВС.
3. Радиус окружности равен R. Определите длину хорды, проведенную из конца данного диаметра через середину перпендикулярного ей радиуса.
4.Две окружности радиусов R и r касаются друг друга внешним образом. Докажите, что длина отрезка АВ общей касательной вычисляется по формуле
АВ= 2√ R•r.
5.Около окружности описана равнобокая трапеция с боковой стороной l, одно из оснований которой равно а. Выведите формулу для вычисления площади трапеции.
6. Докажите, что если в равнобокую трапецию можно вписать окружность, то ее высота h есть среднее геометрическое ее оснований а и b.
7.Покажите, что треугольник с вершинами А(5;2), В(3;-4), С(-3;-2) – равнобедренный.
8.Докажите, что треугольник с координатами вершин А(5;1), В(1;-3),
С(-1;-1) – прямоугольный.
9. Определите вид треугольника относительно его сторон, если координаты вершин: а) А(6;0), В(2;3), С(7;-4); б) А(-3;-3), В(-3;2), С(-3;-1).
10. Докажите, что длина d диагонали ВD равнобокой трапеции с основаниями а и b и боковой стороной l, вычисляется по формуле: d = √l2+ а b.
11. Докажите, что в прямоугольной трапеции АВСD с АВ┴ АD разность квадратов диагоналей равна разности квадратов оснований, т. е. выполняется равенство:
ВD2 ─ АС2 = АD2 ─ ВС2; или d12 – d22 = а 2 ─ b2, где d1> d2.
12.Найдите площадь трапеции АВСD с основаниями АD=20см и ВС=10см, боковыми сторонами АВ = СD =13см.
13. Найдите площадь трапеции АВСD с основаниями АD и ВС, если∠А=∠С=60⁰, АВ = ВС = 8см.
14.Площадь прямоугольного треугольника равна 210, а периметр 84. Найдите сумму длин катетов треугольника.
15. Сумма длин катетов прямоугольного треугольника равна 5. Длина гипотенузы равна √17 . Найдите величину площади треугольника.
16. В равнобедренном треугольнике ABC угол при вершине B равен 120◦, а основание равно 8. Найдите боковую сторону.
17. Найдите диагональ прямоугольника со сторонами 5 и 12.
18. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15, а проекция второго катета на гипотенузу равна 16. Найдите гипотенузу и второй катет.
19. Катеты прямоугольного треугольника равны 12 и 16. Найдите медиану, проведенную к гипотенузе.
20. Найдите высоту, а также радиусы вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника со стороной, равной a.
22. Вершина M правильного треугольника ABM со стороной a расположена на стороне CD прямоугольника ABCD. Найдите диагональ прямоугольника ABCD.
23. Дан отрезок, равный 1. Постройте отрезки, равные √2, √3, √5 .
24. Катеты прямоугольного треугольника равны 12 и 16.Найдите высоту, проведенную из вершины прямого угла.
25. Найдите высоту равнобедренного треугольника, проведенную к боковой стороне, если основание равно a, а боковая сторона равна b.
26. Высота ромба, проведенная из вершины тупого угла, делит его сторону на отрезки длиной a и b. Найдите диагонали ромба.
