Вопрос 6
Геометрический смысл Якобиана. Замена переменных в двойных и тройных интегралах
Рассмотрим ортогональную криволинейную систему координат с осями Oоз, где:
x=x(о, з); y=y(о, з); Тогда о=о(x, y); з=з(x, y) (якобиан не равен нулю)
В плоскости o1оз области D соответствует область D1, ограниченная контуром L1. Соотношение L и L1 устанавливают взаимно однозначную связь между точками областей D и D1.
Найдем площадь 
,
при соответствии положителного направления обхода кривых L + и L +’ будет «+», а при L + и L -’ «–»
Применив теорему о среднем получим 
, тогда найдется средняя точка 
Отсюда геометрический смысл якобиана:
Модуль якобиана преобразования представляет собой при переходе к новым координатам коэффициент искажения площадей отображаемых областей.
В пространственном случае якобиан представляет собой коэффициент искажения объемов
Замена переменных в двойных и тройных интегралах:
Пусть осуществляется переход от декартовых координат Oxy к криволинейным координатам Oоз, где x=x(о, з), y=y(о, з) непрерывно диффер., тогда о=о(x, y); з=з(x, y) так же непрерывно диффер. (ƴ≠0)
В области D определена непрерывная функция f(x, y). Рассмотрим двойной интеграл
и сопоставим ему 
При переходе к криволинейным координатам разбиение области D сетью кривых на ячейки D1,D2…Dn соответсвует разбиение D’ сетью кривых на ячейки D’1,D’2…D’n. Точкам 
соответствуют точки (ок, зк) Тогда если 
получим
.
Измельчая ранг дробления получим основную формулу для перехода от Oxy к Oоз:
Для тройного интеграла:
