Задания №8. Геометрический смысл производной. Касательная
Часть 2.
Здесь смотрите части 1, 3, 4
В данной статье мы с вами рассмотрим Задачи №8 ЕГЭ по математике, связанные с касательной к графику функции.
Задача 1.
Прямая 
параллельна касательной к графику функции 
. Найдите абсциссу точки касания.
Решение:
1). Значение производной в точке касания есть угловой коэффициент касательной.
2). Так как касательная параллельна прямой 
, их угловые коэффициенты равны.
Из п. 1, 2 следует: значение производной в точке касания равно 4.
Поэтому находим абсциссу из следующего уравнения:
где левая часть – производная функции 
Откуда 
Ответ: 4,5.
Задача 2.
Прямая 
является касательной к графику функции 
. Найдите абсциссу точки касания.
Решение:
Составим уравнение касательной к графику функции 
в точке 
:
Так как уравнение касательной 
(где 
– точка касания), то нам предстоит найти 
:
Тогда 
Теперь приведем уравнение касательной к виду 
:
А так как прямая 
и есть касательная к к графику функции 
в точке 
, то
Откуда 
Ответ: 0.
Замечание.
Немного облечим себе задачу на будущее. Хотя вполне можно решать задачи способом, показанным выше (задача 2).
Сформулируем условие касания графика функции 
и прямой 
в точке (точках) 
.
Пусть 
– касательная к графику функции 
в точке 
.
Мы уже знаем, что уравнение касательной к графику функции 
в точке 
задается следующим образом:
или, что тоже самое,
Но если и 
– касательная к графику функции 
в точке 
, то 
и 
.
Последнее условие можно немного представить по другому с учетом первого:
.
Итак, можно сказать, что для того чтобы прямая 
была касательной к графику функции 
, необходимо и достаточно существование хотя бы одного числа 
, для которого выполняется система:
В дальнейшем, мы будем опираться на этот факт.
Задача 3.
Прямая 
является касательной к графику функции 
. Найдите 
.
Решение:
Воспользуемся условием касания графика функции 
и прямой 
в точке (точках) 
:
Получаем: 
Итак, 
Ответ: 15.
Задача 4.
Прямая 
является касательной к графику функции 
. Найдите 
, учитывая, что абсцисса точки касания больше 
.
Решение:
Согласно условию касания графика функции 
и прямой 
в точке (точках) 
имеем:
В условии сказано, что абсцисса точки касания положительна, поэтому берем только вариант 
Откуда 
.
Ответ: -19.
Задача 5.
На рисунке изображён график функции 
и касательная к нему
в точке с абсциссой 
. Найдите значение производной функции 
в точке 
.
Решение:
Согласно геометрическому смыслу производной 
, где 
– угол наклона касательной к графику функции 
, проведенной через точку 
, к положительному направлению оси 
.
Из прямоугольного треугольника 
, помеченного голубым цветом, видно, что 
.
Поэтому 
Ответ: 2.
Задача 6.
На рисунке изображён график функции 
и касательная к нему
в точке с абсциссой 
. Найдите значение производной функции 
в точке 
.
Решение:
Согласно геометрическому смыслу производной 
, где 
– угол наклона касательной к графику функции 
, проведенной через точку 
, к положительному направлению оси 
.
Видим, что 
– тупой угол. Рассмотрим угол 
, смежный углу 
.
В прямоугольном треугольнике 
Тогда 
Ответ: -0,25.
Задача 7.
На рисунке изображен график функции 
. Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 10. Найдите значение производной функции в точке 
.
Решение:
Согласно геометрическому смыслу производной 
, где 
– угол наклона касательной к графику функции 
, проведенной через точку 
, к положительному направлению оси 
.
Касательная проходит через начало координат и точку 
. Проведем эту касательную.
Видим, что угол наклона касательной 
– тупой угол. Рассмотрим угол 
, смежный углу 
.
В прямоугольном треугольнике 
Тогда 
Ответ: -0,6.
