Элективный курс «Культурно-исторические факторы развития математики» (стр. 3 )

  Все в природе строиться на каких-либо закономерностях или правилах. Математики годами ищут объяснения тому или иному факту, и то, что они их находят и объясняют явления с математической точки зрения, только доказывает то, что математика великая наука.

Вероятно, величайшим научным открытием  всех времен следует считать осознание того, что законы природы можно записать с помощью математического кода. Причина этого нам неизвестна, но сам по себе факт математического кодирования явлений природы позволяет понимать, управлять и предсказывать ход физических процессов. Разгадав код, соответствующий той или иной конкретной физической системе, мы обретаем возможность читать природу как раскрытую книгу.

Люди далеко не сразу поняли, что законы природы могут быть записаны в математической форме. И тем самым природа толкала людей на великие математические открытия. Древние астрологи вывели простые числовые соотношения, “управляющие” движением Солнца, Луны и других небесных светил, которые помогали предсказывать затмения. Пифагор обнаружил, что высота музыкального тона, создаваемого струной, связана строгой числовой зависимостью с длиной струны. Но первые систематические попытки расшифровать математический код природы были предприняты только в средние века. В XIV в. ученые из Оксфорда установили интересный факт: расстояние, проходимое телом, падающим по вертикали из состояния покоя, пропорционально квадрату времени, прошедшего с момента начала падения. Но общее признание этот факт получил только в XVII веке после работ Галилея и Ньютона. Кеплер вывел математические соотношения, которым подчиняются движения планет.

Кульминацией явилась формулировка Ньютоном законов механики и закона всемирного тяготения. Ньютон обнаружил, что действие гравитации можно описать особенно простой математической.

В XVIII—XIX вв. математическая основа физики необычайно расширилась. Для удовлетворения растущих запросов физиков были разработаны новые разделы математики. В нашем столетии “математизация” физики происходила еще быстрее, и ныне ее математический аппарат включает многие разделы чистой математики.

То, что на первый взгляд кажется очень сложным или бессмысленным, при расшифровке “кода” может оказаться проявлением довольно простых математических соотношений. Исследуя природу, физик нередко сталкивается с такими вещами, которые сначала кажутся ему чрезмерно сложными и даже случайными. Но в дальнейшем благодаря использованию надлежащего математического аппарата сложное явление может свестись к поразительно простой математике.

Лучший пример тому — история исследования движений планет Солнечной системы. То, что планеты движутся в небе сравнительно упорядоченно, известно каждому, кто хотя бы мельком интересовался астрономией. Однако при более тщательном изучении выясняется, что движения отдельных планет заметно различаются. Например, Марс, обычно движущийся на фоне неподвижных звезд с востока на запад, иногда поворачивает, и некоторое время движется вспять — с запада на восток. Кроме того, внешние планеты движутся гораздо медленнее внутренних. При еще более детальном анализе обнаруживается множество других тонких особенностей.

Некогда пользовалась всеобщим признанием модель мира, созданная Клавдием Птолемеем (II в.), которая основывалась на предположении, что Земля покоится в центре мироздания, а планеты “прикреплены” к жестким концентрическим сферам,  вращающимся с различными скоростями. Совершенствование методов наблюдения выявило более точные детали движения, для учета которых к первоначальным сферам птолемеевой системы пришлось добавить дополнительные, меньших размеров, вращающиеся вместе с большими сферами так, чтобы сочетание двух или большего числа вращении воспроизводило наблюдаемые движения планет. К тому времени, когда Коперник открыл (XVI в.) истинное строение Солнечной системы, модель Птолемея стала чрезвычайно запутанной и сложной.

Научная революция, вызванная работами Галилея и Ньютона — классический пример того, как невообразимое нагромождение фактов обретает изящную простоту при использовании более адекватной математической модели. Основное достижение Ньютона состояло в рассмотрении планет как движущихся в пространстве тел, которые подчиняются физическим законам движения и закону всемирного тяготения, открытым самим Ньютоном. Благодаря этому Ньютону удалось описать размеры и форму планетных орбит, а также периоды обращения по ним планет. Результаты расчетов хорошо согласовались с данными наблюдений. А самое главное заключается в том, что и законы движения Ньютона, и его закон всемирного тяготения даже по меркам средней школы математически очень просты. Но в совокупности они дали описание богатого и сложного разнообразия движений.

Все богатство и сложность явлений реального мира может основываться на простых законах, поскольку существует бесконечное множество начальных условий, создающих разнообразие. Таким образом, открытые Ньютоном простые математические законы служат основой поистине множества сложных явлений.

Практические задания: подготовить сообщения по темам:

Как разлив Нила способствовал развитию землемерия? Фалес Милетский и его простой способ определения высоты пирамиды Открытие Архимеда, которое заставило его произнести знаменитое «Эврика!» Пропорции в природе Сечения в природе

Занятие 3. Общественные факторы: материально-экономическая сфера.

Группу общественных факторов обусловливают четыре основных сферы общественной жизни: материально-экономическая, социальная, политическая, духовная. С материально-экономическими факторами мы связываем те математические вопросы, которые рождены производством и его управлением, строительством, созданием новых машин, станков (скажем, с числовым программным управлением) и т. п.

Из истории математики существует проблема, интерес к которой, ее исследование и решение можно проследить с древнейших времен вплоть до XVIII века, а в XX веке она оказалась тесно связана с проблемой систем счисления  и современными вопросами кибернетики и программирования.

В чем же состоит суть этой проблемы?

Одним из наиболее древних измерительных устройств являются рычажные весы, которыми каждый из нас пользовался неоднократно. При взвешивании мы используем некоторую систему гирь; при этом «взвешивание» некоторого груза осуществляется путем его сравнения с гирями, имеющимися в нашем распоряжении. Процедура взвешивания, выполняемая в соответствии с некоторыми правилами, называется алгоритмом взвешивания или алгоритмом измерения. При этом возникает задача о выборе «оптимальной» системы гирь, которая по существу сводится к задаче о нахождении «оптимального» алгоритма измерения.

В простейшем виде задача формулируется следующим образом: «Каков должен быть минимальный набор гирь, и какого достоинства должны быть эти гири, чтобы с их помощью можно было взвесить на весах с двумя чашами некоторый заданный предельный груз и все другие грузы, не превышающие предельного?

Иными словами, требуется подобрать наименьшее число гирь определенного достоинства, с помощью которых можно взвесить все целые веса, меньшие или равные данному, то есть взвесить максимальный по весу груз с помощью минимального набора гирь определенного достоинства.

Известны два варианта решения «задачи о гирях». В первом случае взвешиваемый груз находится на левой чаше весов, а гири разрешается класть только на правую («свободную») чашу весов; во втором варианте гири разрешается класть на обе чаши весов.

«Задача о взвешивании», вероятно, имеет восточное происхождение и восходит к глубокой древности. Корни ее прослеживаются еще в культуре Индийской цивилизации (ок. 3000 лет до н. э.). В результате раскопок двух памятников городского типа – Мохенджо-Даро и Хараппы – среди находок обнаружены такие наборы гирь, которые позволяют говорить о принятой в них системе мер веса, основанной на удвоении.

Веса гирь из находок составляют следующий ряд: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 единицы веса. Характерен в этом смысле и стандартный размер строительного кирпича этих памятников: 1: 2: 4 и 1: 3: 9.

Истоки «задачи о взвешивании» можно видеть также в практике умножения целых чисел в египетской математике, в приеме, который сводится к разложению одного из сомножителей на сумму слагаемых вида .

Представление целых чисел в виде степеней двойки и тройки встречается в древнегреческой науке, например, в платоновской модели космоса. В ней соотношения между орбитами Солнца, Луны и пяти планет определяются числами 1, 2, 3, 4, 8, 9, 27.

Таблица, включающая степени двойки и тройки, входит в состав китайского математического трактата Сунь-цзы.

«Задача о взвешивании» была известна и на средневековом Ближнем и Среднем Востоке. К настоящему времени она обнаружена в разных вариантах в трех трактатах.

Первое упоминание этой задачи восходит к первой половине XI в. Это - трактат математика и астронома из Северного Ирана Мухаммада ибн Айюба ат-Табари «Руководство по арифметике применительно к торговым операциям», содержащее множество практических задач. «Задача о взвешивании» - одна из задач этого сборника. Набор гирь, который предлагает ат-Табари, состоит из 10 разновесов достоинством в 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256 весовых единиц. Это позволяло ему взвешивать грузы весом до 1000 весовых единиц.

Второй известный нам текст – «Книга весов мудрости» одного из крупнейших ученых XII в., математика, механика и астронома ал-Хазини. Он показывает, что общепринятый в ремесле и торговле средневекового Среднего и Ближнего Востока метод подбора гирь-разновесов в соответствии с последовательностью чисел в десятичной системе счисления, не дает единственного и однозначного решения «задачи о взвешивании».

Существенный вклад в развитие математической теории измерения внес Леонардо Пизано (по прозвищу Фибоначчи), впервые сформулировав так называемую «задачу о выборе наилучшей системы гирь для взвешивания на рычажных весах» или проще «задачу о гирях». История задачи такова. Из сочинений Фибоначчи она перекочевала в сочинения еще одного знаменитого итальянского математика Луки Пачоли. Пачоли поместил ее в свою книгу “Summa de Arithmetica, Geomeytria, Proprtioni et Proportionalita”, опубликованную в 1494 г. Эта книга по праву считается математической энциклопедией эпохи Возрождения.  Затем «задача о гирях» появляется в «Сборнике приятных и занимательных задач» (1612 г.), написанном французским математиком Баше де Мизириаком.