Олимпиада по геометрии для учащихся 8 класса

ОЛИМПИАДА ПО ГЕОМЕТРИИ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ 8 КЛАССА

(время выполнения – 45мин)

Задание 1. Дачи Миши и Серёжи находятся на расстоянии 1 км друг от друга. Однажды они одновременно вышли из своих домов и каждый пошёл по какой-то прямой. Миша шёл со скоростью 5 км/ч, а Сережа – 7 км/ч. Через некоторое время они встретились. Сколько времени могло продолжаться это путешествие? Укажите наибольшее и наименьшее возможное время.

Решение. Пусть встреча Миши и Сережи произошла через t часов. Путь Миши равен 5t км, путь Сережи 7t км. Быстрее всего мальчики встретятся, если пойдут  навстречу друг другу по прямой. В этом случае 5t + 7t = 1.

Отсюда t =. Это наименьшее возможное время, то есть t ≥. Если мальчики шли не по одной прямой навстречу друг другу, то их пути будут составлять две стороны треугольника, а третьей стороной этого треугольника будет дорога между домами. Тогда (по неравенству треугольника)  5t + 1 > 7t, откуда t < 0,5.

Теперь рассмотрим случай, когда мальчики пойдут по одной прямой в одну сторону. Если Сережа двигается за Мишей, то догонит его через полчаса. Если Миша двигается за Серёжей, то встреча не состоится.

Учителю: если быть совсем точными, то, обогнув Землю, Серёжа когда-нибудь догонит Мишу. И случай с движением в разные стороны вокруг Земли тоже можно рассмотреть, но эти ситуации для данной задачи не имеют физического смысла.

Итак, время путешествия не меньше ч, но не больше ч.

Ответ: Миша с Серёжей могут идти до встречи от 5 минут до получаса.

Задание 2. Фокусник вырезал из бумаги треугольник и, чуть касаясь треугольника концом остро подточенного карандаша, удерживал его в состоянии равновесия. Известно, что треугольник был произвольный, а карандашом фокусник касался замечательной точки. Попробуйте повторить фокус, и дайте ответ: какая точка помогает фокуснику?

Решение. Из физики известно, что точка пересечения медиан есть центр тяжести треугольника, что и помогло фокуснику удерживать треугольник на острие.

Ответ: точка пересечения медиан.

Задание 3. Как разрезать данный прямоугольник на 2 такие равные части, чтобы из них можно было сложить квадрат.

Ответ:

Задание 4. Разделите угол 54о на три равных части.

Решение. Дан ∠ АВС=54о.

Восстановим перпендикуляр из точки В к прямой ВС. Угол ABD = 36о.

Построим угол СВК = ABD = 36о. Разделим этот угол пополам.

∠СВМ =∠КВМ =18о. Следовательно, ∠АВК =18о. Значит, ∠СВМ=∠КВМ=∠АВК, т. е. угол разделен на три равные части.

Задание 5. Постройте треугольник по основанию, углу при вершине и медиане, проведённой к основанию.

Анализ. Пусть треугольник АВС – искомый. Известны: ∠ В, сторона b и медиана mb.

Опишем окружность около ДАВC. АС – хорда, ∠АВС – вписанный, ВМ – отрезок, соединяющий вершину В с серединой АС. 

Построение треугольника по стороне и углу при вершине рассмотрено в задании 17. Найдя середину данной стороны и используя медиану, найдём вершину В.

Построение.

1) Построим окружность, вмещающую вписанный угол АВС=∠В, опирающийся на хорду АС = b (так же как в задании 17).

2) Найдём М – середину АС. Из М на окружности сделаем засечки радиусом, равным длине медианы mb. Получим вершину В.

Треугольник АВС – искомый.

Доказательство. ∠АВС=∠В как вписанный, АС = b, ВМ= mb, следовательно, ДАВС – искомый.

Исследование. Пусть МР – серединный перпендикуляр, возможны три случая:

если mb = МР, то треугольник АВС равнобедренный, решение единственное; если mb < МР, то получим два равных треугольника АВ1С и АВ2С; если mb > МР, то решений нет.

Задание 6. (К-2002).   Фигуры P, Q, R и S – квадраты. Периметр квадрата P равен 16 м, а периметр квадрата Q равен 24 м. Чему равен периметр квадрата S?

(A) 56 м        (В) 60 м        (С) 64 м        (D) 72 м  (Е) 80 м

Решение. Сторона квадрата P равна 4 м, а сторона квадрата Q равна 6 м. Следовательно, сторона квадрата R равна 10 м, а квадрата S – 16 м. Периметр квадрата S – 64 м.

Ответ: С.

Критерии оценивания заданий приведены в таблице.

Баллы	Правильность (ошибочность) решения
7	Полное верное решение.
6-7	Верное решение. Имеются небольшие недочеты, в целом не влияющие на решение.
5-6	Решение в целом верное. Однако оно содержит ряд ошибок, либо не рассмотрение отдельных случаев, но может стать  правильным после небольших исправлений или дополнений.
4	Верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев, или в задаче типа «оценка + пример» верно получена оценка.
2-3	Доказаны вспомогательные утверждения, помогающие в решении задачи.
0-1	Рассмотрены отдельные важные случаи при отсутствии решения (или при ошибочном решении).
0	Решение неверное, продвижения отсутствуют.
0	Решение отсутствует.

  Нельзя уменьшать количество  баллов за то, что решение слишком длинное. Исправления в работе (зачеркивания ранее написанного текста) также не являются основанием для снятия баллов. В то же время любой сколь угодно длинный текст решения, не содержащий полезных продвижений, должен быть оценен в 0 баллов.

ОЛИМПИАДА ПО ГЕОМЕТРИИ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ 8 КЛАССА

(время выполнения – 45мин)

Задание 1. Дачи Миши и Серёжи находятся на расстоянии 1 км друг от друга. Однажды они одновременно вышли из своих домов и каждый пошёл по какой-то прямой. Миша шёл со скоростью 5 км/ч, а Сережа – 7 км/ч. Через некоторое время они встретились. Сколько времени могло продолжаться это путешествие? Укажите наибольшее и наименьшее возможное время.

Задание 2. Фокусник вырезал из бумаги треугольник и, чуть касаясь треугольника концом остро подточенного карандаша, удерживал его в состоянии равновесия. Известно, что треугольник был произвольный, а карандашом фокусник касался замечательной точки. Попробуйте повторить фокус, и дайте ответ: какая точка помогает фокуснику?

Задание 3. Как разрезать данный прямоугольник на 2 такие равные части, чтобы из них можно было сложить квадрат.

Задание 4. Разделите угол 54о на три равных части.

Задание 5. Постройте треугольник по основанию, углу при вершине и медиане, проведённой к основанию.

Задание 6. (К-2002).   Фигуры P, Q, R и S – квадраты. Периметр квадрата P равен 16 м, а периметр квадрата Q равен 24 м. Чему равен периметр квадрата S?

(A) 56 м        (В) 60 м        (С) 64 м        (D) 72 м  (Е) 80 м

Из набранного количества баллов складывается рейтинг успешности учащихся.