Математическое программирование Оглавление (стр. 6 )

26. Найдите экстремали функционала, удовлетворяющие краевым условиям

27. Найдите экстремали функционала, удовлетворяющие краевым условиям         

28. Найдите экстремали функционала, удовлетворяющие краевым условиям

29. Найдите экстремали функционала, удовлетворяющие краевым условиям

30. Найдите экстремали функционала, удовлетворяющие краевым условиям

4.4. Методические материалы, определяющие процедуры оценивания ЗУН

Вопросы к зачету

по дисциплине «Методы оптимизации»

Пассивный и последовательный поиски  для приближенного вычисления минимума функции одного переменного. Оптимальный пассивный поиск в задаче А. Пассивный поиск в задаче Б  (случай нечетного числа точек). Пассивный поиск в задаче Б  (случай четного числа точек). Дать обоснование какого-нибудь метода последовательного поиска минимума функции одного переменного и поиска минимума функции многих переменных. Выпуклые множества. Определение. Примеры. Выпуклые функции. Определения. Примеры. Вогнутые функции. Определения. Примеры. Доказать, что для выпуклой функции любая точка локального минимума является точкой абсолютного минимума. Доказать, что для любого выпуклого замкнутого множества и любой точки существует единственная точка проекции. Необходимые и достаточные условия того, чтобы точка выпуклого замкнутого множества была проекцией некоторой точки на это множество. Доказать, что если X - выпуклое множество, то точки V. внешней относительно замыкания  X, существует такая гиперплоскость что , Доказать теорему о существовании опорной гиперплоскости. Доказать теорему о разделяющей  гиперплоскости. Теорема о представлении. Теорема Фаркаша. Доказать, что если выпуклая функция на выпуклом множестве , то . Необходимые и достаточные условия минимума выпуклой функции на выпуклом множестве . Теорема Куна - Таккера. Необходимые и достаточные условия того, чтобы пара точек   была седловой точкой функции Лагранжа в области ( условия I - VI ). Необходимые и достаточные условия оптимальности  для основной задачи выпуклого программирования (условие VII). Теорема Куна - Таккера для множества Двойственность. Теорема двойственности. Доказать, что выполняется неравенство Доказать, что если то оптимальные точки двойственных задач линейного программирования. Доказать, что если ограничена снизу на множестве , то существует Теорема существования. Доказательство вспомогательной теоремы из линейного программирования. Доказать, что если ЗЛП имеет решение, то существует  угловая точка  Характеристики угловых точек допустимой области ЗЛП. Симплексный метод. Алгоритм симплексного метода. Метод искусственного базиса. Двойственный симплекс-метод. Методы безусловной минимизации функции нескольких переменных. Методы условной минимизации функции нескольких переменных. Обобщенное правило множителей Лагранжа для гладких конечномерных задач. Методы нелинейного программирования (безусловный экстремум: метод покоординатного спуска, сопряженных градиентов, метод Ньютона, метод градиента). Методы нелинейного программирования (условный экстремум: метод условного градиента, метод возможных направлений, метод проекции градиента, метод случайного поиска, метод штрафов). Первая вариация функционала. Вторая вариация функционала. Необходимые условия минимума функционала Уравнение Эйлера. Определение сильного и слабого минимума функционала. Простейшая задача вариационного исчисления. Экстремали с подвижными концами. Экстремали с подвижными границами. Экстремали с точками излома. Задачи на условный экстремум. Задача Больца. Задача Майера. Условия Лежандра. Вывод уравнения Якоби. Условие Якоби. Обобщения простейшей задачи вариационного исчисления. Понятие о прямых методах вариационного исчисления. Лемма Лагранжа. Поле экстремалей. Функция Вейерштрасса. Достаточные условия слабого минимума. Достаточные условия сильного минимума.

5. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля)

а) основная литература

Методы оптимизации в примерах и задачах: Учеб. пособие / , . – 3-е изд., стер. – М. : Высш. шк., 2008. – 544 с.: ил. – ISBN 978-5-06-004137-8. Методы оптимизации: учебное пособие. - М.: Юрайт, 2010. - 191 с. - ISBN 978-5-9916-0523-6 , Сборник задач по оптимизации. Теория. Примеры. Задачи: Учебное пособие. - 3-е изд., испр. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. - 256 с. - ISBN 978-5-9221-0992-5 Методы оптимизации в прикладных задачах. - М.: СОЛОН-ПРЕСС, 2009. - 320 с.: ил. ISBN 978-5-91359-061-9

б) дополнительная литература

Исследование операций: задачи, принципы, методология: учебное пособие. - 5-е изд., стер. - М.: КНОРУС, 2010. - 192 с. ISBN 978-5-406-00682-5 Математические методы и модели исследования операций: учебник для вузов / под ред. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2009. - 252 с. ISBN 978-5-238-01325-1

в) программное обеспечение:

Excel, MathCAD. Описания программных продуктов (назначение, состав, структура, методы, алгоритмы).

6. Методические рекомендации для студентов

В ходе изучения данного курса студент слушает лекции, посещает лабораторные занятия, занимается индивидуально. Освоение курса предполагает, помимо посещения лекций и лабораторных занятий, выполнение контрольных работ, курсовых и дипломных работ. Особое место в овладении данным курсом отводится самостоятельной работе студентов.

Основная цель практической части курса – научиться пользоваться алгоритмами численного решения безусловной минимизации функций одной или нескольких переменных, алгоритмами условной оптимизации, а также алгоритмами вариационного исчисления для решения прикладных задач.

Учебная работа студента делится на аудиторную, самостоятельную подготовку и учебно-контрольные формы оценки успеваемости студентов.

Аудиторная работа

Аудиторная работа включает: лекции, практические занятия, компьютерное тестирование.

Лекции заключаются в основном в поверхностном изложении учебного материала по основным разделам, которые будут изучаться на старших курсах. Ряд тем может быть передан на самостоятельную работу. Лекции читаются и по спорным проблемам, и должны иметь преимущественно проблемный характер, с изложением различных учений, точек зрения. Необходимо помнить о том, что даже несколько учебников и энциклопедий не смогут дать той информации, какую даёт преподаватель во время лекционной работы. На лекционном курсе даются не только конкретные знания, но и основное направление в той работе, которую каждый студент проделывает, готовясь к сдаче зачёта или экзамена. Поэтому студенты обязаны внимательно слушать лекции и вести их конспекты, которые могут проверяться преподавателями кафедры. Записи очень индивидуальны, однако они могут быть нескольких родов: фиксирование наиболее важных положений лекции, свободное изложение материала лекции. Полезно использовать общепринятые и индивидуальные сокращения терминов и слов, но чтобы текст оставался понятным: по свежим следам нужно обработать его, восполнить пропущенное, исправить неточности, записать дополнительные интересные и необходимые сведения.

Практические (лабораторные) занятия в учебном процессе, как правило, следуют за лекциями.

В начале практических занятий могут проводиться небольшие (15-20 минут) самостоятельные по теоретическим вопросам, относящимся к теме занятия. Особое внимание необходимо уделять знанию основных определений, теоретических фактов, формул. Для выполнения домашних заданий рекомендуется иметь специальные тетради, которые регулярно проверяются. Результаты проверки фиксируются преподавателем и учитываются при промежуточных аттестациях студентов.

Коллективное обсуждение любых вопросов позволяет уяснить непонятное и сложное для самостоятельного осмысления. Поэтому студент на практическом занятии должен быть активен, дисциплинирован и трудолюбив.