Арифметика финансового рынка (стр. 1 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

ГЛАВА 1. АРИФМЕТИКА ФИНАНСОВОГО РЫНКА

1.1. Простой процент

Задача 1.1.

Банк начисляет простой процент. Процентная ставка равна 10%. Вкладчик размещает на счете 1000 руб. Определить, какая сумма будет получена по счету через 5 лет?

Решение.

Простой процент - это начисление процента только на первоначально инвестированную сумму. При начислении простого процента получаемая сумма рассчитывается по формуле:

Pn = P(1+r*n) (1.1)

где Р - инвестируемая сумма;

Рn - сумма, получаемая через n лет;

n - число лет, которое сумма находится на счете;

r - ставка процента.

Согласно формуле (1.1) по счету будет получена сумма:

P5 = 1000*(1 + 0,1*5) = 1500 руб.

Задача 1.2.

Банк начисляет простой процент. Процентная ставка равна 10%. Вкладчик размещает на счете 2000 руб. Определить, какая сумма будет получена по счету через 3 года?

Решение.

Р3 = 2000(1 + 0,1 * 3) = 2600 руб.

Задача 1.3.

Вкладчик размещает на счете 2000 руб. на три года. Банк начисляет простой процент. Процентная ставка за первый год равна 8%, второй - 9%, третий - 10%. Определить, какая сумма будет получена по счету через 3 года?

Решение.

При начислении за каждый год разного процента формула (1.1) принимает вид:

Pn = P(1+r1+r2+…+rn), где ri - процент, начисляемый за i-й год.

Р3 = 2000(1 + 0,08 + 0,09 + 0,1) = 2540 руб.

Задача 1.4.

Банк начисляет простой процент. Процентная ставка равна 6%. Вкладчик размешает на счете 3000 руб. на 90 дней. Определить, какая сумма будет получена по счету? Финансовый год (база) равен 365 дням.

Решение.

При начислении простого процента в течение года получаемая сумма определяется по формуле:

Pt = P(1+r*t/база) (1.2)

где Р - инвестируемая сумма;

Рt - сумма, получаемая через t дней (месяцев);

r - ставка процента в расчете на год;

база - продолжительность финансового года.

Согласно формуле (1.2) по счету будет получена сумма:

руб.

Задача 1.5.

Банк начисляет простой процент. Процентная ставка равна 8%. Вкладчик размещает на счете 4000 руб. на 180 дней. Определить, какая сумма будет получена по счету? База 360 дней.

Решение.

руб.

Задача 1.6.

Банк начисляет простой процент. Процентная ставка равна 9%. Вкладчик размешает на счете 5000 руб. на 6 месяцев. Определить, какая сумма будет получена по счету?

Решение.

В задаче срок депозита задан в месяцах, поэтому базу примем за 12 месяцев.

руб.

Задача 1.7.

Процентная ставка на базе 365 дней равна 10% годовых. Определить эквивалентную ей ставку на базе 360 дней.

Решение.

r360 = 10%/365 * 360 = 9,86%

Задача 1.8.

Процентная ставка на базе 360 дней равна 10% годовых. Определить эквивалентную ей ставку на базе 365 дней.

Решение.

r365 = 10%/360 * 365 = 10,14%

1.2. Сложный процент. Эффективный процент. Непрерывное начисление процентов

Задача 1.9.

Вкладчик размещает в банке 1000 руб. под 10% годовых. Банк осуществляет капитализацию процентов на счете в конце каждого года. Какая сумма денег получится на счете через 5 лет?

Решение.

Сложный процент - это процент, который начисляется на первоначально инвестированную сумму и начисленные в предыдущий период проценты. При начислении сложного процента с капитализацией одни раз в год используется формула:

Pn = P(1+r)n (1.3)

где Р - инвестируемая сумма;

Рn - сумма, получаемая через n лет;

n - число лет, которое сумма находится на счете:

r - ставка процента.

Согласно формуле (1.3) по счету будет получена сумма:

P5 = 1000(1+0,1)5= 1610,51 руб.

Задача 1.10.

Вкладчик размешает в банке 2000 руб. под 9% годовых. Банк осуществляет капитализацию процентов на счете в конце каждого года. Какая сумма денег получится па счете через 3 года?

Решение.

P3 = 1000(1+0,09)3= 1295,03 руб.

Задача 1.11.

Вкладчик размещает на счете в банке сумму Р. Банк в конце года начисляет процент r. Докажите, что через три года сумма на счете инвестора составит величину Pn = P(1+r)3

Решение.

В конце первого года сумма на счете вырастет до величины: P1 = P(1+r)

В конце второго года она возрастет до: P2 = P(1+r)+ P(1+r)r = P(1+r)(1+r) = P(1+r)2

В конце третьего года она составит: P3 = P(1+r)2+ P(1+r) 2r = P(1+r) 2 (1+r) = P(1+r)3

Задача 1.12.

Вкладчик размещает в банке 1000 руб. на три гола. Капитализация процентов осуществляется ежегодно. За первый год банк начисляет 10%, второй - 9%. третий - 8% годовых. Какая сумма денег получится на счете через 3 года?

Решение.

Если банк начисляет разные проценты за разные периоды времени, то формула (1.3) принимает вид:

Pn = P(1+r1)(1+r2)…(1+rn) (1.4)

где ri - процент за соответствующий год.

P3 = 1000*1,1*1,09*1,08 = 1294,92 руб.

Задача 1.13.

Вкладчик размешает в банке 1000 руб. под 9,5% годовых. Банк осуществляет капитализацию процентов на счете через каждые полгода. Какая сумма денег получится на счете через 3 года?

Решение.

В случае начисления сложного процента в рамках года формула (1.3) принимает вид:

(1.5)

где m - периодичность начисления процентов в течение года.

Согласно формуле (1.5) по счету будет получена сумма:

P3 = 1000*(1+0,095/2)^(2*3) = 1321,07 руб.

Задача 1.14.

Вкладчик размещает в банке 2000 руб. под 8% годовых. Банк осуществляет капитализацию процентов на счете ежеквартально. Какая сумма денег получится на счете через 3 года?

Решение.

P3 = 2000(1+0,08/4)^(4*3) = 2536,48 руб.

Задача 1.15.

В начале года вкладчик размешает в банке 2000 руб. под 8% годовых. Банк осуществляет капитализацию процентов в конце каждого года. В течение года по счету начисляется простой процент. Какая сумма денег получится на счете через 3 года и 90 дней? База 365 дней.

Решение.

По счету вкладчика за три года будет начислен сложный процент, за 90 дней простой процент. Общая сумма по счету в конце периода составит:

2000(1+0,08)3(1+0,08* 90/365) = 2569,12 руб.

Задача 1.16.

За 30 дней до окончания года вкладчик размешает в банке 2000 руб. под 8% годовых. Банк осуществляет капитализацию процентов в конце каждого года. В течение года по счету начисляется простой процент. Какая сумма денег получится на счете через 3 года и 120 дней? База 365 дней.

Решение.

До начала следующего года сумма находится на счете 30 дней. По ней начисляется простой процент. Через три года сумма будет находится на счете еще 90 дней. По ней также начисляется простой процент. За три целых года будет начислен сложный процент. Общая сумма по счету в конце периода составит:

2000(1+0,08* 30/365)(1+0,08)3(1+0,08* 90/365) = 2586,02 руб.

Задача 1.17.

Банк начисляет по счету 10% годовых. Капитализация процентов осуществляется два раза в год. Определить величину эффективного процента.

Решение.

Эффективный (реальный) процент - это процент, который получается по итогам года при начислении сложного процента в рамках года. Он определяется по формуле:

rэф = (1+r/m)^m – 1 (1.6)

где rэф - эффективный процент;

r - простой процент в расчете на год, который задан по условиям финансового инструмента;

m - периодичность начисления процентов в течение года.

Согласно формуле (1.6) эффективный процент равен:

rэф = (1+0,1/2)^2 – 1 = 0,1025 или 10,25% годовых.

Задача 1.18.

Выведите формулу (1.6).

Решение.

Если вкладчик инвестирует сумму P на год под процент r с капитализацией m раз в год, то в конце периода согласно (1.5) будет получена сумма P(1+r/m)^m. Если он инвестирует сумму P на год под эффективный процент rэф, то в конце периода будет получена сумма P(1+ rэф). Проценты r и rэф эквивалентны в том случае, если обе суммы одинаковы. Поэтому приравняем их друг к другу:

P(1+ rэф) = P(1+r/m)^m

или

1+ rэф = (1+r/m)^m

или

rэф =(1+r/m)^m – 1

Задача 1.19.

Банк начисляет по счету 10% годовых. Капитализация процентов осуществляется ежеквартально. Определить величину эффективного процента.

Решение.

rэф =(1+0,1/4)^4 – 1=0,1038 или 10,38% годовых.

Задача 1.20.

Доходность финансового инструмента с погашением через 270 дней равна 10% годовых. Определить эффективный процент. База 365 дней.

Решение.

В случае, если в рамках года не укладывается целое число периодов начисления процентов, формула (1.6) принимает вид

(формулу можно эквивалентно записать: rэф =^(t/база)sqrt(1+r* t/база) – 1):

rэф =(1+r* t/база)^(база/t) – 1 (1.7)

где t - период финансовой операции (например, время краткосрочного банковского депозита, время с момента покупки до продажи или погашения ценной бумаги меньшее года).

Согласно формуле (1.7) эффективный процент равен:

rэф =(1+0,1* 270/365)^(365/270) – 1 = 0,10128 или 10,128% годовых.

Задача 1.21.

Доходность финансового инструмента с погашением через 50 дней равна 5,4% годовых. Определить эффективный процент. База 365 дней.

Решение.

rэф =(1+0,054* 50/365)^(365/50) – 1 = 0,05527 или 5,527% годовых.

Задача 1.22.

В расчете на 80 дней доходность финансовой операции инвестора составила 10%. Определить эффективный процент. База 365 дней.

Решение.

Поскольку инвестор получил 10% в расчете не на год, а на 80 дней, то формула (1.7) принимает вид: rэф =(1+rt)^(база/t) – 1 (1.8)

где rt - доходность за период t.

Согласно формуле (1.8) эффективная доходность равна:

rэф =(1+0,1)^(365/80) – 1 = 0,5447 или 54,47% годовых.

Задача 1.23.

Банк предлагает три годичных депозита: 1) ставка 10% годовых, начисление процента по завершении года; 2) ставка 9,9%. капитализация процентов осуществляется ежеквартально; 3) ставка 9,8%, капитализация процентов осуществляется ежемесячно. Определить, какой депозит следует выбрать инвестору, если он планирует разместить деньги в банке на один год.

Решение.

По второму депозиту эффективный процент равен: (1+0,099/4)^4 – 1 = 0,1027 иди 10,27% годовых.

По третьему депозиту эффективный процент равен: (1+0,098/12)^12 – 1 = 0,1025 или 10,25% годовых.

Инвестору следует выбрать второй депозит.

Задача 1.24.

Эффективный процент равен 8,16% годовых. Определить эквивалентный ему простой процент в расчете на год, если начисление процентов осуществляется каждые полгода.

Решение.

Из формулы (1.6) простой процент равен

(формула эквивалентна формуле: r = m[(1+ rэф)^(1/m) – 1] ):

r = m(^m sqrt(1+ rэф) –

Согласно (1.9) эквивалентный простой процент равен:

r = 2(sqrt(1+0,0816) –1) = 0,08 или 8% годовых.

Задача 1.25.

Эффективный процент равен 8,77% годовых. Определить эквивалентный ему простой процент в расчете на год, если начисление процентов осуществляется ежеквартально.

Решение.

r = 4(^4sqrt(1+0,0877) – 1) = 0,084955 или 8,4955% годовых.

Задача 1.26.

Вкладчик размешает в банке 1000 руб. под 10% годовых. Процент начисляется непрерывно. Какую сумму денег он получит на счете через 2 года.

Решение.

Непрерывное начисление процента получается в том случае, если и формуле (1.5) периодичность начисления процента устремить к бесконечности (m??). Для непрерывно начисляемого процента формула (1.5) принимает следующий вид:

Pn = Pern (Pn = Pe^rn) (1.10)

где r - непрерывно начисляемый процент;

n - количество лет начисления процента;

e = 2,71828...

Через два года сумма на счете составит:

P2 = 1000e^(0,1*2) = 1221,4 руб.

Задача 1.27.

Вкладчик размешает в банке 1000 руб. под 10% годовых. Процент начисляется непрерывно. Какую сумму денег он получит на счете через 5 лет.

Решение.

P5 = 1000e^(0,1*5) = 1648,72 руб.

Задача 1.28.

Вкладчик размешает в банке 1000 руб. под 10% годовых. Процент начисляется непрерывно. Какую сумму денег он получит на счете через полгода.

Решение.

Для времени равному полгода n = 0,5 .

P0,5 = 1000e^(0,1*0,5) = 1051,27 руб.

Задача 1.29.

Выведите формулу непрерывно начисляемого процента (1.10).

Решение

Формула (1.10) получается из формулы (1.5) путем следующих преобразований:

где a = m/r.

При непрерывном начислении процентов m?? и, следовательно, a??.

В этом случае. Тогда: .

Задача 1.30.

Определить величину непрерывно начисляемого процента эквивалентного 10%, начисляемым один раз в год.

Решение.

Между непрерывным процентом и процентом, начисляемым один раз в год, существует следующая зависимость:

rн =ln(1+r) (1.11)

где rн - непрерывно начисляемый процент;

r - простой процент;

ln - натуральный логарифм.

Согласно (1.11) эквивалентный непрерывно начисляемый процент равен:

rн =ln(1+0,1) = 0,09531 или 9,531%.

Задача 1.31.

Определить величину непрерывно начисляемого процента эквивалентного 15%, начисляемым один раз в год.

Решение.

rн =ln(1+0,15) = 0,13976 или 13,976%.

Задача 1.32.

Определить величину непрерывно начисляемого процента эквивалентного 10%. если капитализация процентов осуществляется два раза раз в год.

Решение.

Если процент начисляется в течение года m раз, то формула (1.11) принимает вид:

rн =mln(1+r/m) (1.12)

Согласно (1.12) эквивалентный непрерывно начисляемый процент равен:

rн =2ln(1+0,1/2)= 0,09758 или 9,758%.

Задача 1.33.

Определить величину непрерывно начисляемого процента эквивалентного 10%, если капитализация процентов осуществляется четыре раза раз в год.

Решение.

rн =4ln(1+0,1/4)= 0,09877 или 9,877%.

Задача 1.34.

Выведите формулу (1.12).

Решение.

Если вкладчик инвестирует сумму P на n лет под непрерывно начисляемый процент rн, то в конце периода согласно формуле (1.10) будет получена сумма Ре^rн. Если он инвестирует сумму P на n лет под процент r с капитализацией m раз в год. то в конце периода согласно формуле (1.5) будет

получена сумма P(1+r/m)^(mn).

Проценты rн и r эквивалентны в том случае, если обе суммы одинаковы. Поэтому приравняем их друг к другу:

Ре^(rнn) = P(1+r/m)^(mn)

Или

е^rн = (1+r/m)^m (1.13)

Возьмем натуральный логарифм от обеих частей равенства (1.13):

lnе^rн = ln(1+r/m)^m

или

rн =m ln(1+r/m)

Задача 1.35.

Непрерывно начисляемый процент равен 10%. Определить величину эквивалентного процента, начисляемого один раз в год.

Решение.

Из формулы (1.13) при m=1 получаем:

r = е^rн – 1 (1.14)

Согласно формуле (1.14):

r = е^0,1 – 1= 0,10517 или 10,517%.

Задача 1.36.

Непрерывно начисляемый процент равен 10%. Определить величину эквивалентного процента, начисляемого два раза в год.

Решение.

Из формулы (1.13) получаем:

r = m(e^(rн/m) –

Согласно формуле (1.15):

r = 2(e^(0,1/2) – 1) = 0,10254 или 10,254%.

Задача 1.37.

Непрерывно начисляемый процент равен 8%. Определить величину эквивалентного процента, начисляемого четыре раза в год.

Решение.

r = 4(e^(0,08/4) – 1) = 0,08081 или 8,081%.

1.3. Дисконтированная стоимость

Задача 1.38.

Инвестор открывает в банке депозит на один год под 10% годовых и хотел бы в конце периода получить по депозиту 10 тыс. руб. Какую сумму ему следует разместить сегодня на счете?

Решение.

Ответ можно получить, выразив из формулы (1.3) величину Р :

P = Pn / ((1+r)^n) (1.16)

где Pn - сумма, которую хотел бы иметь на счете вкладчик через n лет:

r - процент, начисляемый банком;

Р - сумма денег, которую надо разместить на депозите.

n - период времени, в течение которого сумма лежит на счете.

Формула (1.16) называется формулой дисконтированной или приведенной стоимости.

Согласно (1.16) при n = 1 инвестору сегодня следует разместить на депозите:

10 000 руб./(1+0,1) = 9090,91 руб.

Задача 1.39.

Инвестор открывает в банке депозит на два года под 10% годовых и хотел бы в конце периода получить по депозиту 10 тыс. руб. Какую сумму ему следует разместить сегодня на счете?

Решение.

10 000 руб./1,1^2 = 8264,46 руб.

Задача 1.40.

Инвестор открывает в банке депозит на два года под 10% годовых и хотел бы в конце периода получить по депозиту 10 тыс. руб. Банк начисляет проценты ежеквартально. Какую сумму ему следует разместить сегодня на счете.

Решение.

Из формулы (1.5) получаем: P = Pn/([1+r/m]^(mn)) (1.17)

Вкладчик должен разместить на счете:/([1+0,1/4]^(4*2)) = 8207,47 руб.

Задача 1.41.

Инвестор открывает в банке депозит на 90 дней под 10% годовых и хотел бы в конце периода получить по депозиту 10 тыс. руб. Какую сумму ему следует разместить сегодня на счете? База 365 дней.

Решение.

Из формулы (1.2) получаем: P = Pt/(1+r(t/база))

Вкладчик должен разместить на счете: 10 000/(1+0,1(90/365) = 9759,36 руб.

Задача 1.42.

Инвестор открывает в банке депозит на 90 дней и хотел бы в конце периода получить 10 тыс. руб. По депозиту банк начисляет непрерывно начисляемый процент в размере 10%. Какую сумму ему следует разместить сегодня на счете? База 360 дней.

Решение.

Из формулы (1.10) получаем: P = Pn/e^(r*n)

n = 90/360 = 0,25 .

Вкладчик должен разместить на счете: 10 000/e^(0,1*0,25) = 9753,1 руб.

1.4. Определение периода начисления процента

Задача 1.43.

Инвестор открывает в банке депозит под 10% годовых (простой процент) на сумму 10 тыс. руб. и хотел бы получить но счету 10,5 тыс. руб. На сколько дней следует открыть депозит? База 360 дней.

Решение.

Из формулы (1.2) получаем: t = (Pt/P – 1)*(база/r)

Депозит следует открыть на:

/10 000 – 1)*360/0,1 = 180 дней.

Задача 1.44.

В начале года инвестор открывает в банке депозит на сумму 10 тыс. руб. и хотел бы получить по счету 11881 руб. Банк начисляет 9% годовых, капитализация процентов осуществляется в конце каждого года. На какой период времени следует открыть депозит?

Решение.

Период времени, на который следует открыть депозит, получим из формулы (1.3):

Pn = P(1+r)^n

Перепишем ее следующим образом: Pn / P= (1+r)^n (1.18)

Возьмем натуральный логарифм от обеих частей равенства (1.18): lnPn / P=ln (1+r)^n

Согласно свойству логарифма вынесем степень за знак логарифма:

lnPn / P=nln (1+r) (1.19)

Из (1.19) получаем: n = ln (Pn / P)/ ln(1+r)

Депозит следует открыть на: ln /10 000)/ ln(1,09) = 2 года.

Задача 1.45.

В начале года инвестор открывает в банке депозит на сумму 1 млн. руб. и хотел бы получить по счету 1 руб. Банк начисляет 9% годовых, капитализация процентов осуществляется через каждые полгода. На какой период времени следует открыть депозит?

Решение.

Период времени, на который следует открыть депозит, получим из формулы (1.5):

Pn = P(1+r/m)^mn

Проведя преобразования аналогично как в задаче 1.44, получаем:

n = ln(Pn / P)/(ln(1+r/m)^m) (1.20)

Депозит следует открыть на:

n = ln(1 092 025 / 1 000 000 ) / ln(1+0,09/2)^2 = 1 год.

Задача 1.46.

В начале года инвестор открывает в банке депозит на сумму 1 млн. руб. и хотел бы получить по счету 1 руб. Банк начисляет 9% годовых, капитализация процентов осуществляется через каждые полгода. На какой период времени следует открыть депозит?

Решение.

Согласно формуле (1.20):

ln(1 141 166 / 1 000 000 ) / ln(1+0,09/2)^2 = 1,5 года.

Задача 1.47.

В начале года инвестор открывает в банке депозит на сумму 1 млн. руб. и хотел бы получить по счету 1 ,15 руб. Банк начисляет 8% годовых. Процент начисляется непрерывно. На какой период времени следует открыть депозит?

Решение.

Период времени, на который следует открыть депозит, получим из формулы (1.10). Проведя преобразования аналогично как в задаче 1.44, с учетом того, что lne^r = r, получаем:

n = ln(Pn/P)/r. (1.21)

Депозит следует открыть на: ln (1 ,15 / 1 /0,08 = 3 года.

Задача 1.48.

13 начале года инвестор открывает в банке депозит на сумму 1 млн. руб. и хотел бы получить по счету 1 342 850,24 руб. Банк начисляет 8% годовых. Процент начисляется непрерывно. На какой период времени следует открыть депозит? База 365 дней.

Решение.

Согласно формуле (1.21) депозит следует открыть на:

ln(1 342 850,24/1 /0,08 = 3,68493 года.

0,68493 года эквивалентно 0,68493*365=250 дням. Депозит следует открыть на 3 года и 250 дней.

1.5. Аннуитет

1.5.1. Будущая стоимость аннуитета

Задача 1.49.

Инвестор в течение трех лет в конце каждого года получает по 1000 руб. и размещает каждый платеж под 10% годовых до окончания трехлетнего периода. Определить будущую стоимость аннуитета.

Решение.

Аннуитет - это поток одинаковых по сумме платежей, которые осуществляются с равной периодичностью. В примере представлен аннуитет, когда платежи осуществляются в конце каждого периода (отложенный аннуитет). Будущая стоимость аннуитета представляет собой сумму всех платежей, инвестированных до момента окончания срока действия аннуитета. Ее можно определить по формуле:

(1.22)

где F - будущая стоимость аннуитета;

C - сумма платежа по аннуитету;

r - процент, под который инвестируется сумма С;

n - количество лет, в течение которых производятся выплаты.

Согласно формуле (1.22) будущая стоимость аннуитета равна:

F = 1000*1,1^2 + 1000*1,1 + 1000 = 3310 руб.

Задача 1.50.

Инвестор в течение пяти лет в конце каждого года получает по 1000 руб. и размешает каждый платеж под 9% годовых до окончания пятилетнего периода. Определить будущую стоимость аннуитета.

Решение.

Будущую стоимость аннуитета можно определить по формуле:

F = C/r *((1+r)^n –

которая получается из формулы (1.22). Будущая стоимость аннуитета равна:

F = 1000/0,09 *(1.09^5 – 1) = 594,71 руб.

Задача 1.51.

Выведите формулу (1.23).

Решение.

Умножим обе части уравнения (1.22) на (1+r) и вычтем полученный результат из уравнения (1.22). Получим:

F – F(1+r) = C?(1+r)^(n – 1) – C?(1+r)^(n – 2+1) = C[?(1+r)^(n – 1) – ?(1+r)^(n – 2+1)]

или

F – F(1+r) = – C[(1+r)^n – 1]

или

Fr = C[(1+r)^n – 1]

или

F = C/r[(1+r)^n – 1]

Задача 1.52.

Предприятие выпустило облигации с погашением через восемь лет на сумму 5 млрд. руб. Для погашения облигаций будет создан выкупной фонд. В выкупной фонд планируется ежегодно отчислять равные суммы средств, которые будут инвестироваться до момента погашения облигаций под 10% годовых. Определить размер ежегодных отчислений для формирования выкупного фонда.

Решение.

Величину ежегодных отчислений в выкупной фонд можно определить из формулы (1.23), выразив из нее С :

C = Fr/((1+r)^n –

Сумма ежегодных отчислений составит:

5 млрд.*0,1 /(1,1^8 – 1) = 437,2 млн. руб.

Задача 1.53.

Инвестору выплачивается пятилетний аннуитет. В расчете на год платеж составляет 1000 руб., однако платежи осуществляются через каждые полгода. Инвестор размещает получаемые суммы под 8% годовых до истечения аннуитета. Определить будущую стоимость аннуитета.

Решение.

Если платежи по аннуитету производятся m раз в год, то формула (1.22) принимает вид:

(1.25)

где С - сумма выплаты за год.

Формулу (1.25) можно упростить, умножив обе части равенства (1.25) на (1+r/m) и вычтя результат из равенства (1.25).

После преобразования получим:

Будущая стоимость аннуитета равна:

1000/0,08[(1+0,08/2)^(2*5) – 1] = 6003,05 руб.

Задача 1.54.

Инвестору выплачивается восьмилетний аннуитет. В расчете на год платеж составляет 2000 руб., платежи осуществляются ежеквартально. Инвестор размешает получаемые суммы под 6% годовых до истечения аннуитета. Определить будущую стоимость аннуитета.

Решение.

2000/0,06*[(1+0,06/4)^(4*8) – 1] = 20344,14 руб.

1.5.2. Приведенная стоимость аннуитета

Задача 1.55.

Ежегодный платеж по пятилетнему аннуитету составляет 1000 руб. и инвестируется под 10% до истечения срока аннуитета. Определить приведенную стоимость аннуитета.

Решение.

Приведенная стоимость аннуитета при начислении процента один раз в год определяется по формуле:

(1.26)

где C - сумма платежа по аннуитету;

r - процент, под который инвестируется сумма С ;

n - количество лет, в течение которых производятся выплаты.

Согласно (1.26) приведенная стоимость аннуитета равна:

P = 1000/0,1*[1 – 1/(1+0,1)^5] = 3790,79 руб.

Задача 1.56.

Выведите формулу (1.26).

Решение.

Приведенная стоимость аннуитета (Р) представляет собой будущую стоимость аннуитета, дисконтированную к моменту времени его учреждения, т. е.:

P = F/(1+r)^n = C/r*[(1+r)^n – 1]* 1/(1+r)^n

или после преобразования:

Задача 1.57.

Выведите формулу (1.26) на основе геометрической прогрессии.

Решение.

Запишем формулу приведенной стоимости n-летнего аннуитета в развернутом виде:

P = C/(1+r) + C/(1+r)^2 + C/(1+r)^3 + … + C/(1+r)^n (1.27)

В правой части равенства (1.27) вынесем за скобки величину C/(1+r):

P = C/(1+r)*[1 + 1/(1+r) + 1/(1+r)^2 + … + 1/(1+r)^(n – 1)] (1.28)

Обозначим 1/(1+r) = q. Выражение (1.28) принимает вид:

P = Cq(1+q+q^2+…+q^(n –

Выражение 1+q+q^2+…+q^(n – 1) есть сумма геометрической прогрессии из n членов со знаменателем q < 1. Ее сумма (Sn) равна:

Sn = (1 – q^n)/( 1 – q) (1.30)

С учетом (1.30) выражение (1.29) принимает вид:

P = Cq*(1 – q^n)/( 1 – q) (1.31)

Подставим в (1.31) вместо q величину 1/(1+r)

P = C/(1+r)* (1 – (1/(1+r))^n)/( 1 – (1/(1+r)) )

После преобразования получаем:

P = C/r * [1 – (1/(1+r)^n)]

Задача 1.58.

Лицо А в течение следующих восьми лет в конце каждого года должно выплачивать по своим обязательствам по 20 тыс. руб. Чтобы располагать данными деньгами к концу каждого следующего года, оно решает сегодня открыть в банке восьмилетний депозит на некоторую сумму. По депозиту ежегодно начисляется 9%, средства со счета можно снимать полностью или частично в конце каждого года. Какую сумму следует сегодня разместить на депозите лицу А, чтобы за счет средств депозита покрыть все свои обязательства и, чтобы после последнего платежа па депозите больше не осталось денег.

Решение.

Сумма, которую, лицо А должно разместить на депозите, равна приведенной стоимости восьмилетнего аннуитета. Она составляет:

20 000/0,09 * (1 – 1/1,09^8) = 4 руб.

Задача 1.59.

Лицо А в течение следующих пяти лет в конце каждого года должно выплачивать лицу В по 30 тыс. руб. В результате переговоров А и В договорились о том, что А погасит свои обязательства единовременным платежом в начале периода. Сумма платежа должна быть такой, чтобы В, разместив деньги на счете в банке, могло обеспечить себе поступление средств, аналогичных выплатам по пятилетнему аннуитету. Определить сумму единовременного платежа, если по счету в банке ежегодно начисляется 8%, средства со счета можно снимать полностью или частично в конце каждого года.

Решение.

Единовременный платеж равен приведенной стоимости пятилетнего аннуитета:

30 000/0,08 * (1 – 1/1,08^5) = 3 руб.

Задача 1.60.

Заемщик берет кредит на десять лет в размере 5 млн. руб. под 15% годовых с условием погашения его равными суммами в конце каждого года. Проценты начисляются в конце каждого года на оставшуюся часть долга. Определить величину ежегодной выплаты по кредиту.

Решение.

Ежегодную сумму по кредиту, выплачиваемую равными частями, можно определить из формулы (1.26). Платежом по кредиту является величина C:

C = P*r / (1 – 1/(1+r)^n) (1.32)

где P - сумма кредита; r - процент по кредиту; C - платеж по кредиту; n - число лет, на которые берется кредит. Согласно (1.32) платеж по кредиту равен:

C = 5 млн.*0,15 / (1 – 1/1,15^10) = 31 руб.

Задача 1.61.

Ежегодный платеж но пятилетнему аннуитету составляет 1000 руб. Он выплачиваемся равными суммами через каждые полгода и инвестируется под 10% годовых до истечения срока аннуитета. Определить приведенную стоимость аннуитета.

Решение.

При начислении процента m раз в год формула (1.26) приведенной стоимости аннуитета принимает вид: P = C/r * [1 – 1/(1+r/m)^mn] (1.33)

Согласно (1.33) приведенная стоимость аннуитета равна:

1000/0,1 * [1 – 1/(1+0,1/2)^(2*5)] = 3860,87 руб.

Задача 1.62.

Заемщик берет кредит на два года в размере 1 млн. руб. под 12% годовых с условием погашения его равными суммами ежеквартально. Определить величину ежеквартального платежа по кредиту.

Решение.

Из формулы (1.33) сумма ежегодного платежа (С) составляет:

1млн.* 0,12 / (1 – 1/(1+0,12/4)^(4*2)) = 56 руб.

Ежеквартальный платеж равен: 56 / 4 = 39 руб.

Задача 1.63.

Определить приведенную стоимость бессрочного аннуитета, по которому в конце каждого года выплачивается 1000 руб., если процентная ставка равна 8%.

Решение.

Приведенная стоимость бессрочного аннуитета определяется по формуле:

P = C/r (1.34)

Согласно (1.34) приведенная стоимость аннуитета равна:

1000/0,08 = 12500 руб.

Задача 1.64.

Выведите формулу (1.34).

Решение.

Приведенная стоимость аннуитета при капитализации процентов один раз в год определяется по формуле (1.26):

P = C/r * [1 – 1/(1+r)^n]

При n?? величина 1/(1+r)^n в этой формуле стремится к нулю. Поэтому она

принимает вид: P = C/r

1.6. Доходность

Задача 1.65.

Вкладчик инвестировалруб. и получил через 5 летруб. Чему равна доходность инвестиций в расчете на пять лет?

Решение.

Доходность за период определяется по формуле:

r = Pn/P – 1 (1.35)

где r - доходность за период;

Р - первоначально инвестированные средства; Рn - сумма, полученная через n лет.

Согласно (1.35) доходность за пять лет равна:

r = 50 000 / 10 000 – 1 = 4 или 400%

Задача 1.66.

Вкладчик инвестировалруб. и получил через 5 летруб. Чему равна доходность инвестиции в расчете на год?

Решение.

Доходность в расчете на год определяется по формуле (Формула (1.36) выводится из формулы (1.3).):

(1.36)

где r - доходность в расчете на год.

Согласно (1.36) доходность в расчете на год равна:

r = (50 000 /^(1/5) – 1 = 0,3797 или 37,97% годовых

Задача 1.67.

Вкладчик инвестировалруб. и получил через 3 года 9500 руб. Чему равна доходность инвестиций в расчете на год?

Решение.

Согласно (1.36) доходность в расчете на год равна:

r = (9500 /^(1/3) – 1 = -0,01695 или -1,695% годовых, т. е. инвестор получил убыток.

Задача 1.68.

Вкладчик инвестировал 10000 руб. и получил через 1,5 года 9500 руб. Чему равна доходность инвестиций в расчете на год?

Решение.

r = (9500 /^(1/1,5) – 1 = -0,0336 или -3,36% годовых.

Задача 1.69.

Вкладчик инвестировал 10000 руб. и получил через 5 лет 50000 руб. Процент по инвестициям начислялся ежеквартально. Определить доходность его операции в расчете на год.

Решение.

Если капитализация процентов осуществляется m раз в год, то формула (1.36) принимает вид (Формула (1.37) выводится из формулы (1.5)):

(1.37)

Согласно (1.37) доходность в расчете на год равна:

r = 4*((50000/10000)^(1/(4*5)) – 1) = 0,3352 или 33,52% годовых.

Задача 1.70.

Вкладчик инвестировалруб. и получил через 5 летруб. По инвестициям начислялся непрерывно начисляемый процент. Определить доходность его операции в расчете на год.

Решение.

Если капитализация процентов осуществляется непрерывно, то формула (1.37) принимает вид:

(1.38)

Согласно (1.38) доходность в расчете на год равна:

Задача 1.71.

Вкладчик инвестировал 10000 руб. и получил через три месяца 10800 руб. По инвестициям начислялся непрерывно начисляемый процент. Определить доходность его операции в расчете на год на основе непрерывно начисляемого процента.

Решение.

Период времени в три месяца составляет 3/12 = 0,25 года.

Согласно (1.38) доходность в расчете на год равна:

Задача 1.72.

Вкладчик разместил на счете в банке 10000 руб. и получил через 180 дней 10540 руб. По счету начислялся простой процент. Определить доходность его операции в расчете на год на основе простого процента. Финансовый год равен 365 дням.

Решение.

Доходность определяется по формуле (Формула (1.39) выводится из формулы (1.2).):

(1.39)

Она равна:

Задача 1.73.

Для условий задачи 1.72 определить эффективный процент, начисляемый по счету.

Решение.

Согласно формуле (1.7) эффективный процент по счету равен:

Задача 1.74.

Инвестор разместил деньги на банковском депозите на шесть лет. Капитализация процентов осуществлялась ежегодно. Какую ставку по депозиту начислял банк, если в конце периода капитал вкладчика увеличился в четыре раза?

Решение.

Примем первоначальный капитал вкладчика за единицу. С учетом того, что его капитал вырос в четыре раза можно записать:

4 = 1(1+r)^6

Отсюда:

r = 4^(1/6) – 1 = 0,2599 или 25,99%.

Задача 1.75.

Инвестор разместил на банковском депозите 1000 руб. и через три года получил 1340 руб. Капитализация процентов осуществлялась ежегодно. За первый год банк начислил по счету 10%, за третий 12%. Какую ставку начислил банк за второй год.

Решение.

Решение найдем из равенства:

1340 = 1000*1,1(1+r2)1,12

r2 = 1340/(1000*1,1*1,12) – 1 = 0,0877 или 8,77%

ГЛАВА 2. ОБЛИГАЦИИ И ПРОЦЕНТНЫЕ СТАВКИ

2.1. Определение цены облигации

Задача 2.1.

Номинал облигации 1000 руб., купон 10%, выплачивается один раз в год. До погашения облигации 3 года. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 12%.

Решение.

Принцип расчета цены облигации основан на дисконтировании будущих доходов, которые будут выплачены по ней. Технику определения курсовой стоимости можно представить в три действия:

1) определяем поток доходов, который ожидается по бумаге;

2) находим дисконтированную стоимость величины каждого платежа по бумаге; дисконтирование осуществляем под процентную ставку, соответствующую доходности до погашения облигации (Данную величину также часто называют доходностью к погашению);

3) суммируем дисконтированные стоимости; полученная сумма и является ценой облигации.

В задаче поток доходов по облигации представлен выплатой купонов и погашением номинала. По купону в конце каждого года выплачивается сумма:

1000 руб. * 0,1 = 100руб.

В конце третьего года также погашается номинальная стоимость бумаги. Таким образом, облигация принесет следующий поток доходов:

Год Сумма(руб.)

1 100

2 100

3 1100

Дисконтированные стоимости платежей для каждого года соответственно равны:

Год Дисконтированная стоимость (руб.)

1 100/1,12 = 89,29

2 100/1,12^2 = 79,72

3 1100/1,12^3 = 782,96

Цена облигации равна:

89,29+79,72+782,96 = 951,97 руб.

Задача 2.2.

Поминал облигации 1000 руб., купон 10%. выплачивается один раз в год. До погашения облигации 3 года. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 8%.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16



Подпишитесь на рассылку:


Вычисление
это получение из входных данных нового знания

Арифметика

Проекты по теме:

Бизнес
Основные порталы, построенные редакторами

Домашний очаг

ДомДачаСадоводствоДетиАктивность ребенкаИгрыКрасотаЖенщины(Беременность)СемьяХобби
Здоровье: • АнатомияБолезниВредные привычкиДиагностикаНародная медицинаПервая помощьПитаниеФармацевтика
История: СССРИстория РоссииРоссийская Империя
Окружающий мир: Животный мирДомашние животныеНасекомыеРастенияПриродаКатаклизмыКосмосКлиматСтихийные бедствия

Справочная информация

ДокументыЗаконыИзвещенияУтверждения документовДоговораЗапросы предложенийТехнические заданияПланы развитияДокументоведениеАналитикаМероприятияКонкурсыИтогиАдминистрации городовПриказыКонтрактыВыполнение работПротоколы рассмотрения заявокАукционыПроектыПротоколыБюджетные организации
МуниципалитетыРайоныОбразованияПрограммы
Отчеты: • по упоминаниямДокументная базаЦенные бумаги
Положения: • Финансовые документы
Постановления: • Рубрикатор по темамФинансыгорода Российской Федерациирегионыпо точным датам
Регламенты
Термины: • Научная терминологияФинансоваяЭкономическая
Время: • Даты2015 год2016 год
Документы в финансовой сферев инвестиционнойФинансовые документы - программы

Техника

АвиацияАвтоВычислительная техникаОборудование(Электрооборудование)РадиоТехнологии(Аудио-видео)(Компьютеры)

Общество

БезопасностьГражданские права и свободыИскусство(Музыка)Культура(Этика)Мировые именаПолитика(Геополитика)(Идеологические конфликты)ВластьЗаговоры и переворотыГражданская позицияМиграцияРелигии и верования(Конфессии)ХристианствоМифологияРазвлеченияМасс МедиаСпорт (Боевые искусства)ТранспортТуризм
Войны и конфликты: АрмияВоенная техникаЗвания и награды

Образование и наука

Наука: Контрольные работыНаучно-технический прогрессПедагогикаРабочие программыФакультетыМетодические рекомендацииШколаПрофессиональное образованиеМотивация учащихся
Предметы: БиологияГеографияГеологияИсторияЛитератураЛитературные жанрыЛитературные героиМатематикаМедицинаМузыкаПравоЖилищное правоЗемельное правоУголовное правоКодексыПсихология (Логика) • Русский языкСоциологияФизикаФилологияФилософияХимияЮриспруденция

Мир

Регионы: АзияАмерикаАфрикаЕвропаПрибалтикаЕвропейская политикаОкеанияГорода мира
Россия: • МоскваКавказ
Регионы РоссииПрограммы регионовЭкономика

Бизнес и финансы

Бизнес: • БанкиБогатство и благосостояниеКоррупция(Преступность)МаркетингМенеджментИнвестицииЦенные бумаги: • УправлениеОткрытые акционерные обществаПроектыДокументыЦенные бумаги - контрольЦенные бумаги - оценкиОблигацииДолгиВалютаНедвижимость(Аренда)ПрофессииРаботаТорговляУслугиФинансыСтрахованиеБюджетФинансовые услугиКредитыКомпанииГосударственные предприятияЭкономикаМакроэкономикаМикроэкономикаНалогиАудит
Промышленность: • МеталлургияНефтьСельское хозяйствоЭнергетика
СтроительствоАрхитектураИнтерьерПолы и перекрытияПроцесс строительстваСтроительные материалыТеплоизоляцияЭкстерьерОрганизация и управление производством

Каталог авторов (частные аккаунты)

Авто

АвтосервисАвтозапчастиТовары для автоАвтотехцентрыАвтоаксессуарыавтозапчасти для иномарокКузовной ремонтАвторемонт и техобслуживаниеРемонт ходовой части автомобиляАвтохимиямаслатехцентрыРемонт бензиновых двигателейремонт автоэлектрикиремонт АКППШиномонтаж

Бизнес

Автоматизация бизнес-процессовИнтернет-магазиныСтроительствоТелефонная связьОптовые компании

Досуг

ДосугРазвлеченияТворчествоОбщественное питаниеРестораныБарыКафеКофейниНочные клубыЛитература

Технологии

Автоматизация производственных процессовИнтернетИнтернет-провайдерыСвязьИнформационные технологииIT-компанииWEB-студииПродвижение web-сайтовПродажа программного обеспеченияКоммутационное оборудованиеIP-телефония

Инфраструктура

ГородВластьАдминистрации районовСудыКоммунальные услугиПодростковые клубыОбщественные организацииГородские информационные сайты

Наука

ПедагогикаОбразованиеШколыОбучениеУчителя

Товары

Торговые компанииТоргово-сервисные компанииМобильные телефоныАксессуары к мобильным телефонамНавигационное оборудование

Услуги

Бытовые услугиТелекоммуникационные компанииДоставка готовых блюдОрганизация и проведение праздниковРемонт мобильных устройствАтелье швейныеХимчистки одеждыСервисные центрыФотоуслугиПраздничные агентства

Блокирование содержания является нарушением Правил пользования сайтом. Администрация сайта оставляет за собой право отклонять в доступе к содержанию в случае выявления блокировок.