Арифметика последовательностей и рекуррентные соотношения

Арифметика последовательностей и рекуррентные соотношения

В школьном курсе математики знакомство с рекуррентными соотношениями происходит на примерах арифметической и геометрической прогрессий. Рассмотрение рекуррентных соотношений другого вида (например, числа Фибоначчи) часто входят в программы факультативов, а их решения, как правило, получают методом математической индукции, что требует определенного навыка в построении правильного индуктивного предположения. В настоящей заметке предложен подход к решению этих задач на основе построения формальных степенных рядов. Этот подход широко применяется во многих разделах математики, а применительно к рекуррентным соотношениям позволяет заменить рекуррентное соотношение уравнением в формальных степенных рядах. В частности, рекуррентные соотношения с постоянными коэффициентами приводят к линейному уравнению в формальных степенных рядах, которое решается стандартным образом с учетом специфики арифметики формальных степенных рядов.

Пусть - последовательность элементов множества A (A = Z, Q, R, C). Будем записывать последовательность в виде

, (1)

где t – формальная переменная. Такая форма записи последовательности называется формальным степенным рядом. Конечную последовательность будем рассматривать как бесконечную последовательность, в которой . Слагаемые вида часто будем опускать и записывать конечную последовательность в виде . Множество формальных степенных рядов с коэффициентами из будем обозначать . Если , то коэффициент называется свободным членом формального степенного ряда и будем обозначать .

Введем на множестве формальных степенных рядов операции сложения и умножения.

Если

, ,

то

, (2)

, (3)

где

. (4)

Непосредственно проверяется, что введенные операции обладают свойствами:

, (5)

, (6)

(7)

Если , то определим противоположный ряд формулой

. (8)

Тогда

. (9)

Операция умножения в обладает свойствами:

, (10)

, (11)

(12)

. (13)

Определим для формального степенного ряда производную формулой

(14)

Производная обладает свойствами:

, (15)

. (16)

Равенства (15), (16) непосредственно вытекают из определения (14).

Если - произвольный формальный степенной ряд, а - формальный степенной ряд без свободного члена, т. е. , то определена подстановка

. (17)

Рассмотрим вопрос об обратимости формального степенного ряда. Формальный степенной ряд называется обратным к формальному степенному ряду , если

. (18)

Если обратный формальный степенной ряд существует, то он единственен и обозначается

.

Примеры.

1)  Пусть . Тогда

(сумма бесконечной геометрической прогрессии).

2)  (сумма конечной геометрической прогрессии).

Следующая теорема дает критерий обратимости формального степенного ряда.

Теорема. Формальный степенной ряд обратим тогда и только тогда, когда свободный член обратим в .

Если обратим в и , то . В частности, , т. е. обратим в .

Пусть и обратим в . Тогда

,

где - формальный степенной ряд без свободного члена. Воспользуемся формулой бесконечной геометрической прогрессии с подстановкой , т. е. определим

.

Непосредственная проверка приводит к равенству

, т. е.

В качестве приложения формальных степенных рядов рассмотрим рекуррентные соотношения с постоянными коэффициентами. Арифметика формальных степенных рядов позволяет в этом случае полностью решить вопрос вычисления таких последовательностей. В качестве примера рассмотрим числа Фибоначчи (см., например, [1]), т. е., последовательность , заданную условиями:

, , . (19)

Пусть - соответствующий формальный степенной ряд. Из рекуррентного соотношения (19) следует равенство

Учитывая начальные условия , , получаем,

, т. е., , .

Таким образом, задача сводится к вычислению

.

Следовательно, , где и - корни уравнения , а и находим из начальных условий. Вычисляя – получаем:

; .

В итоге,

,

Итак, решение рекуррентного соотношения (19) сводится к решению линейного уравнения в R.

Этот подход непосредственно распространяется на рекуррентные соотношения с постоянными коэффициентами:

, (20)

- заданные числа (начальные условия).

Характеристическим уравнением рекуррентного соотношения называется уравнение

(21)

Следующая теорема служит обобщением приведенного примера.

Теорема. Если характеристическое уравнение (21) рекуррентного соотношения (20) имеет простые корни , то решения рекуррентного соотношения (20) имеют вид

, (22)

где - постоянные коэффициенты. (Коэффициенты можно определить из начальных условий .)

Таким образом, если характеристическое уравнение имеет простые корни, то решение рекуррентного соотношения (22) – сумма геометрических прогрессий со знаменателями .

□ Пусть

Итак, удовлетворяет линейному уравнению

, (23)

где - многочлен степени . Отсюда

,

где - корни характеристического уравнения, а - постоянные коэффициенты. Следовательно, .■

Если характеристическое уравнение рекуррентного соотношения (20) имеет корни кратностей соответственно, то при решении линейного уравнения (23) нужно воспользоваться равенством

(при этом полагаем, что ).

Отсюда следует

Теорема. Если характеристическое уравнение (21) рекуррентного соотношения (20) имеет корни кратностей соответственно, то решение рекуррентного соотношения (20) есть сумма геометрических прогрессий и их производных до порядка .

Литература.

, , Гольховой В. М. Задачи по математике, Алгебра и анализ, «Наука», Библиотечка «Квант», вып. 22, 1982г.

,

преподаватель математики ГОУ Пушкинский лицей № 000, к. ф-м. н.

Тел. (495), 8(916).



Подпишитесь на рассылку:


Вычисление
это получение из входных данных нового знания

Арифметика

Проекты по теме:

Основные порталы, построенные редакторами

Домашний очаг

ДомДачаСадоводствоДетиАктивность ребенкаИгрыКрасотаЖенщины(Беременность)СемьяХобби
Здоровье: • АнатомияБолезниВредные привычкиДиагностикаНародная медицинаПервая помощьПитаниеФармацевтика
История: СССРИстория РоссииРоссийская Империя
Окружающий мир: Животный мирДомашние животныеНасекомыеРастенияПриродаКатаклизмыКосмосКлиматСтихийные бедствия

Справочная информация

ДокументыЗаконыИзвещенияУтверждения документовДоговораЗапросы предложенийТехнические заданияПланы развитияДокументоведениеАналитикаМероприятияКонкурсыИтогиАдминистрации городовПриказыКонтрактыВыполнение работПротоколы рассмотрения заявокАукционыПроектыПротоколыБюджетные организации
МуниципалитетыРайоныОбразованияПрограммы
Отчеты: • по упоминаниямДокументная базаЦенные бумаги
Положения: • Финансовые документы
Постановления: • Рубрикатор по темамФинансыгорода Российской Федерациирегионыпо точным датам
Регламенты
Термины: • Научная терминологияФинансоваяЭкономическая
Время: • Даты2015 год2016 год
Документы в финансовой сферев инвестиционнойФинансовые документы - программы

Техника

АвиацияАвтоВычислительная техникаОборудование(Электрооборудование)РадиоТехнологии(Аудио-видео)(Компьютеры)

Общество

БезопасностьГражданские права и свободыИскусство(Музыка)Культура(Этика)Мировые именаПолитика(Геополитика)(Идеологические конфликты)ВластьЗаговоры и переворотыГражданская позицияМиграцияРелигии и верования(Конфессии)ХристианствоМифологияРазвлеченияМасс МедиаСпорт (Боевые искусства)ТранспортТуризм
Войны и конфликты: АрмияВоенная техникаЗвания и награды

Образование и наука

Наука: Контрольные работыНаучно-технический прогрессПедагогикаРабочие программыФакультетыМетодические рекомендацииШколаПрофессиональное образованиеМотивация учащихся
Предметы: БиологияГеографияГеологияИсторияЛитератураЛитературные жанрыЛитературные героиМатематикаМедицинаМузыкаПравоЖилищное правоЗемельное правоУголовное правоКодексыПсихология (Логика) • Русский языкСоциологияФизикаФилологияФилософияХимияЮриспруденция

Мир

Регионы: АзияАмерикаАфрикаЕвропаПрибалтикаЕвропейская политикаОкеанияГорода мира
Россия: • МоскваКавказ
Регионы РоссииПрограммы регионовЭкономика

Бизнес и финансы

Бизнес: • БанкиБогатство и благосостояниеКоррупция(Преступность)МаркетингМенеджментИнвестицииЦенные бумаги: • УправлениеОткрытые акционерные обществаПроектыДокументыЦенные бумаги - контрольЦенные бумаги - оценкиОблигацииДолгиВалютаНедвижимость(Аренда)ПрофессииРаботаТорговляУслугиФинансыСтрахованиеБюджетФинансовые услугиКредитыКомпанииГосударственные предприятияЭкономикаМакроэкономикаМикроэкономикаНалогиАудит
Промышленность: • МеталлургияНефтьСельское хозяйствоЭнергетика
СтроительствоАрхитектураИнтерьерПолы и перекрытияПроцесс строительстваСтроительные материалыТеплоизоляцияЭкстерьерОрганизация и управление производством

Каталог авторов (частные аккаунты)

Авто

АвтосервисАвтозапчастиТовары для автоАвтотехцентрыАвтоаксессуарыавтозапчасти для иномарокКузовной ремонтАвторемонт и техобслуживаниеРемонт ходовой части автомобиляАвтохимиямаслатехцентрыРемонт бензиновых двигателейремонт автоэлектрикиремонт АКППШиномонтаж

Бизнес

Автоматизация бизнес-процессовИнтернет-магазиныСтроительствоТелефонная связьОптовые компании

Досуг

ДосугРазвлеченияТворчествоОбщественное питаниеРестораныБарыКафеКофейниНочные клубыЛитература

Технологии

Автоматизация производственных процессовИнтернетИнтернет-провайдерыСвязьИнформационные технологииIT-компанииWEB-студииПродвижение web-сайтовПродажа программного обеспеченияКоммутационное оборудованиеIP-телефония

Инфраструктура

ГородВластьАдминистрации районовСудыКоммунальные услугиПодростковые клубыОбщественные организацииГородские информационные сайты

Наука

ПедагогикаОбразованиеШколыОбучениеУчителя

Товары

Торговые компанииТоргово-сервисные компанииМобильные телефоныАксессуары к мобильным телефонамНавигационное оборудование

Услуги

Бытовые услугиТелекоммуникационные компанииДоставка готовых блюдОрганизация и проведение праздниковРемонт мобильных устройствАтелье швейныеХимчистки одеждыСервисные центрыФотоуслугиПраздничные агентства

Блокирование содержания является нарушением Правил пользования сайтом. Администрация сайта оставляет за собой право отклонять в доступе к содержанию в случае выявления блокировок.