Белые карлики, нейтронные звезды и гравитационный коллапс (стр. 2 )

,

(60)

где есть 4-мерный вектор и метрика Минковского плоская, что значит, что римановская кривизна везде нулевая. Метрика – лоренцов инвариант.

В 1913 г. А. Эйнштейн познакомился с геометрией Римана от своего друга Марселя Гроссмана. После множества проб и ошибок Эйнштейн в 1915 г. выдвинул свою Общую теорию относительности как систему нелинейных дифференциальных уравнений поля в частных производных:

,

(61)

где - тензор энергии – импульса вещества источника, и - космологическая константа, имеющая размерность энергии (Эйнштейн ввел ее для обеспечения статичности Вселенной. Однако, наблюдения Э. Хаббла 1929 г. доказали расширение Вселенной, и Эйнштейн удалил константу из уравнений, говоря, что это «его величайший промах». С того времени константа действительно использовалась с переменным успехом: по желанию она вводилась в уравнения или выбрасывалась из них. О ней опять вспомнили в последние годы в связи с открытием явления расширения Вселенной с ускорением, интерпретируя ее как плотность гипотетической темной энергии).

Уравнения поля могут быть представлены в виде:

,

(62)

а их философское содержание можно представить так: «Материя указывает пространству, как искривляться, а пространство говорит материи, как двигаться!» Пространство побуждает частицы материи двигаться вдоль геодезических линий, задаваемых как

,

(63)

где , - масса покоя движущейся частицы, - вектор 4-скорости частицы или плотность. Геодезические уравнения не являются внешним дополнением к уравнениям поля – они сами присутствуют в уравнениях поля через тождество Бианки . Это дает четыре закона сохранения для энергии и импульса

,

(64)

где - плотность источников флюида. И наоборот, они следуют из вариационного принципа

.

(65)

Уравнения (2) и (4) не только правильно описывают аномальную прецессию, но и предсказывают множество других новых гравитационных эффектов в солнечной системе и космологии. Мы полагаем, что стремится к плоской метрике асимптотически

§ 4. Решение Шварцшильда с внешним вакуумом

Мы полагаем, что для локальной конфигурации солнечной системы. Согласно решению с внешним вакуумом, мы считаем пространство свободным от материи за пределами источника так, что уравнения поля сводятся к

,

(66)

так как вне источника материи. (Заметим, что ). Мы предполагаем, что простейшая конфигурация источника массы , скажем, Солнце, сферически симметрична. Тогда наиболее общая метрика может быть записана в виде:

,

(67)

где и - две неизвестные функции, которые определяются из (66). Решение получается следующим:

.

(68)

Это решение с внешним вакуумом было получено Шварцшильдом в 1916 г. Радиус горизонта определяется из , что дает

.

(69)

Для Солнца с г. км. Это значит: если вся масса Солнца сосредоточится внутри сферы радиусом 2,95 км, оно будет Черной Дырой! Смотри ниже, почему это называется радиусом горизонта.

§ 5. Тесты ОТО

(а) Гравитационное красное смещение

Определим собственный временной интервал как

,

(70)

где в наиболее общем виде определяется из

.

(71)

Рассмотрим часы, зафиксированные в точке P в гравитационном поле. Тогда , так что время, отмеченное на часах

,

(72)

где - временной промежуток между двумя событиями в бесконечности, которые происходят в гравитационном поле. (Асимптотически, , так что ). С другой стороны, если наблюдатель, свободно падающий в черную дыру, посылает сигналы через одинаковые промежутки времени по его часам, то бесконечно удаленный другой наблюдатель будет получать эти сигналы через время . Так как

,

(73)

то из этого следует, что, когда падающий наблюдатель достигнет горизонта, где , станет бесконечным. Это значит, что его сигналы, посланные из , никогда не достигнут бесконечно удаленного наблюдателя, и никакая информация об этом не может быть доступна. Вот почему этот радиус называют радиусом горизонта черной дыры. Только те события, которые происходят над радиусом, могут быть отмечены снаружи, и именно поэтому его называют еще горизонтом событий.

Другие часы в другой фиксированной точке Q: отмечают этот же координатный временной интервал как

.

(74)

Полагая, что , где - частота, получим

.

(75)

Таким образом, гравитационное красное смещение между P и Q

,

(76)

поскольку не константа, а функция пространственных координат. Для метрики Шварцшильда и если и , мы получим

,

(77)

где - радиус Земли. Для 22 метра (средняя высота здания в городе) расчетное значение , а измеренное опытным путем значение - превосходное согласие (Pound & Rebka, 1960)! Однако, есть аргументы, говорящие, что этот тест может быть объяснен и без общей теории относительности (Rindler, 1977). Уникальные тесты для ОТО следуют из рассмотрения движения в поле Шварцшильда. Свет, движущийся в направлении к источнику гравитации, имеет голубое смещение, в то время как при движении от гравитационного источника он получает красное смещение.

§ 6. Движение в метрике Шварцшильда

Так как не зависит от и , соответствующие компоненты должны быть константами при движении. Уравнение для переменной дает решение: . Таким образом,

;	(78)
.	(79)

Первый интеграл дает

.

(80)

Отсюда мы получим

;	(81)
.	(82)

Константы и должны быть определены при рассмотрении асимптотического случая

,

(83)

где является угловым моментом для единицы массы частицы на бесконечности, и

.

(84)

Таким образом, есть энергия на бесконечности для тестовой частицы.

(b)  Движение перигелия планет

Определяя , мы имеем

,

(85)

где . Член описывает возмущение, то есть отклонение от кеплеровской эллиптической орбиты, для которой

.

(86)

Нелинейное уравнение траектории (85) имеет решение

.

(87)

Условие для перигелия – минимума - можно записать

	(88)
,	(89)

так что последовательные перигелии отделены друг от друга на интервал . Таким образом, смещение перигелия за каждый оборот

,

(90)

где и - соответственно большая полуось кеплеровской орбиты и эксцентриситет. Для планеты Меркурий, которая ближе всего к Солнцу, расчетное значение

,

(91)

что удивительно близко к наблюдаемому значению . Для Венеры , наблюдаемое значение . Для Земли , наблюдаемое значение .

(с) Отклонение света

Масса покоя фотона равна нулю, то есть , поэтому . Таким образом, из уравнения (85) мы получаем

.

(92)

Решение нулевого порядка (то есть без возмущения ) представляет собой прямую линию, проходящую на расстоянии от начала системы координат параллельно оси Y

.

(93)

Полное решение, до второго порядка в , уравнения (85)

.

(94)

Оно представляет собой неограниченную орбиту, и угол между двумя асимптотами будет

.

(95)

Для светового луча, проходящего вблизи Солнца, предсказываемое значение . Наблюдаемое значение, полученное в Судане во время солнечного затмения 1952 г., оказалось , что можно считать блестящим совпадением!

(c)  Эффект Шапиро

Сначала мы определяем положение наибольшего сближения, или точки поворота, где исчезающе мало. Обозначив это положение , получим

.

(96)

Точка поворота орбиты существует, если . Если , точки поворота нет, и частица со временем будет захвачена. Понимая это, давайте обсудим эффект Шапиро.

Рассмотрим распространение света () в поле Шварцшильда. Выражая константу через , получим

.

(97)

Это можно приближенно выразить следующим образом

,

(98)

что показывает, что скорость света замедляется в гравитационном поле () и время распространения больше. Для пути луча на участке от до , время распространения луча интегрируется от верхнего предела до

.

(99)

Последние два слагаемых представляют эффект временного запаздывания Шапиро. Для светового луча, посланного с Земли, которая движется, и с Меркурия, находящегося в верхнем соединении, обратно к Земле, нетрудно оценить запаздывание

.

(100)

Практические наблюдения в 1971 г., давшие значение , оказались в блестящем согласии с расчетами.

§ 7. Внутреннее решение Шварцшильда

Мы сейчас рассмотрим для идеальной текучей среды на основе полевых уравнений (2) и найдем метрику внутри нее, где

;	(101)
,	(102)

где и - соответственно, давление и плотность в текучей среде. Уравнения поля, после некоторых алгебраических преобразований, дают уравнение Звездной Структуры

,

(103)

где

.

(104)

Внутреннее решение Шварцшильда базируется на предположении, что звезда однородна, и что . Тогда