Белые карлики, нейтронные звезды и гравитационный коллапс (стр. 4 )

;	(206)
.	(207)

Раскрывая квадратный корень, мы получим:

	(208)
.	(209)

Первые члены в выражениях для и представляют собой ньютоновские значения для тепловой и гравитационной энергии звезды. Отметим, что первый член в переписан так

	(210)
	(211)
	(212)
	(213)
,	(214)

где - ньютоновский потенциал, задаваемый внутри звезды как

.

(215)

Основные выводы на данный момент:

Раз мы указали, что звезда имеет определенные постоянные значения энтропии в пересчете на один нуклон химического состава, все свойства звезды, включая , , , , , и , определены как функции центральной плотности . Это не случай нормальных звезд, таких, как Солнце, в которых распределение энтропии неоднородно и должно быть определено из уравнений лучистого равновесия.

§ 12. Интересное соотношение из ОТО

Внутренняя метрика для звезды с постоянной плотностью задана уравнениями (109) и (110). Изменяя немного форму записи, определив радиус звезды как , массу и , мы можем переписать внутреннюю метрику как

;	(216)
.	(217)

Мы задаем вопрос: Какова физическая интерпретация константы ? Для ответа на этот вопрос мы сначала посчитаем среднюю «физическую» плотность вещества сферы: массу поделим на объем.

Отметим, что в гравитационном поле физический радиальный интервал не есть интервал координаты , а величина

.

(218)

Подобно для и :

;	(219)
.	(220)

Тогда физический объем

.

(221)

Таким образом, физический объем больше координатного объема в раз, что больше 1. Интегрируя от 0 до , получим

.

(222)

Теперь

.

(223)

Таким образом,

.

(224)

Тогда средняя плотность звезды сферической формы

	(225)
.	(226)

Ясно, что не представляет собой постоянную «физическую плотность», поскольку, если бы это было так, мы получили бы . Мы можем интерпретировать (226) интересным образом. Мы в праве ожидать, что объем с плотностью должен быть заполнен массой . Мы имеем меньшую массу и можем обсуждать дефект масс

.

(227)

Мы можем приписать этот дефект массы к потерям энергии на упаковку вещества под действием его собственной гравитационной энергии. В ньютоновской механике сфера радиуса с однородной плотностью имеет поверхностный потенциал

.

(228)

Если мы увеличиваем радиус на , мы приносим количество вещества с нулевого уровня энергии на уровень энергии , тогда потеря энергии

.

(229)

Отсюда энергия, теряемая при сферической упаковке, благодаря гравитации:

.

(230)

С другой стороны, дефект массы (227) , рассчитанный в первом приближении

.

(231)

Таким образом, возвращая обратно , имеем

.

(232)

Таким образом, релятивистский дефект массы выглядит посчитанным из фундаментального соотношения Эйнштейна между массой и энергией.

§ 13. Две теоремы о стабильности

Мы здесь сформулируем их без вывода.

Теорема 1: Звезда, состоящая из совершенного вещества с постоянными значениями химического состава и удельной энтропии, может переходить от стабильного состояния к нестабильному (имеются в виду некоторые виды собственных радиальных колебаний - пульсаций), при значении центральной плотности , для которой энергия равновесия число нуклонов стационарны, только так, что

;	(233)
.	(234)

Радиальные собственные колебания означают вид колебаний, при котором возмущения плотности являются функциями только и .

Теорема 2: Особый вид звездной конфигурации с постоянными значениями удельной энтропии и химического состава, будет удовлетворять в равновесии условиям (190) и (191) тогда и только тогда, когда , определяемая как

,

(235)

будет оставаться стационарной в отношении всех возможных изменений , которые сохранят неизменным число

,

(236)

а также сохранят удельную энтропию и химический состав постоянными и неизменными.

Равновесие является устойчивым по отношению к радиальным пульсациям тогда и только тогда, когда или эквивалентное имеет минимум в отношении всех возможных изменений.

В. НЬЮТОНОВСКИЕ ЗВЕЗДЫ: ПОЛИТРОПЫ

§ 1. Ньютоновские политропы

В ньютоновской астрофизике внутренняя энергия и давление значительно меньше, чем плотность массы покоя

(237)

так что основной вклад в полную энергию вносит плотность массы покоя

,

(238)

а также

.

(239)

Кроме того, гравитационный потенциал

.

(240)

Таким образом, фундаментальное уравнение (191) преобразуется к виду

,

(241)

где

.

(242)

Разделив (241) на и продифференцировав, а также использовав (242) получим

.

(243)

Для того, чтобы обеспечить конечность , необходимо, чтобы стремилось к нулю. Таким образом, задаем какое-то уравнение состояния . Мы можем найти , решая уравнение (243) с граничным условием, что будет задано некоторым значением, и что

.

(244)

Мы пока нуждаемся в задании уравнения состояния. Довольно часто реализуется случай, когда внутренняя энергия пропорциональна давлению, то есть

.

(245)

[Отметим, что действительно является константой, это отношение удельных теплот только для того случая, когда оба, и и , пропорциональны температуре!] Условие для постоянной удельной энтропии тогда будет выглядеть

	(246)
	(247)
	(248)

и поэтому

(249)

или, так как , мы имеем

,

(250)

где - коэффициент пропорциональности, не зависящий от или , но может зависеть от удельной энтропии и химического состава. Любая звезда, которая имеет уравнение состояния в форме (250), называется политропой.

§ 2. Уравнение Лейна – Эмдена

Фундаментальное уравнение (243) может быть переписано с использованием новой независимой переменной

(251)

и новой зависимой переменной

;	(252)
.	(253)

Тогда уравнение (243) приобретет вид

.

(254)

Граничные условия

.

(255)

Функция называется функцией Лейна – Эмдена индекса . Для значений , близких к 0, уравнение (254) дает

(256)

Также, можно показать, что для , устремляется к 0 при некотором значении аргумента :

.

(257)

Это условие определяет радиус звезды

.

(258)

Масса звезды может также быть получена из уравнения Лейна – Эмдена (254):

	(259)
	(260)
.	(261)

Исключая из (258) и (261), мы получим соотношение между и :

.

(262)

§ 3. Внутренняя энергия ньютоновской политропы

Для ньютоновской политропы доминирующий вклад в вносит полная масса покоя , так что