Белые карлики, нейтронные звезды и гравитационный коллапс (стр. 6 )

Для гравитационный потенциал на поверхности белого карлика задается уравнениями (289) и (291).

,

(300)

в то время как для он задается формулами (296) и (298)

.

(301)

Мы видим, что всегда будет мало, за счет того, что .

Итак, ОТО играет важную роль в формировании структуры белых карликов. Число растет с возрастанием центральной плотности так, что максимального значения достигает при массе , где оно имеет значение 4×10-4. Для нашего старого друга Эридана В ~ 6×10-5.

D.  Нейтронные звезды

§ 1. Что такое нейтронная звезда?

Выше мы видели, что звезда белый карлик, поддерживаемая давлением холодных вырожденных электронов, не сможет быть в равновесии, если ее масса больше, чем предел Чандрасекхара, порядка . Также гравитационный потенциал на поверхности звезды не может быть больше, чем .

Мы спрашиваем, что случится, когда звезда, масса которой больше, чем предел Чандрасекхара, завершит свою термоядерную эволюцию и начнет остывать? Ее внутреннее давление тогда не сможет противодействовать гравитационным силам, и звезда сколлапсрует. Одна из возможностей состоит в том, что она продолжит коллапсировать дальше, причем общая теория относительности непременно вступит в игру. Другая возможность состоит в том, что, коллапсируя, звезда станет настолько разогретой, что она взорвется, превратившись в сверхновую. Она может при этом выбросить в окружающее пространство вещество так, что ее масса уменьшится, став ниже предела Чандрасекхара. Предполагается, что в этом случае сильно сжатый остаток (реликтовый объект) не найдет свой конец в виде белого карлика, а скорее станет сверхплотной нейтронной звездой. Типичная плотность нейтронной звезды имеет порядок 1015г/см3 (миллиард тонн в кубическом сантиметре!)

Нейтронная звезда похожа на белый карлик, за исключением того, что она состоит почти целиком из холодных нейтронов, все электроны и протоны были превращены в нейтроны посредством реакции

,

(302)

нейтрино покидают звезду. Достаточное количество электронов и протонов должны остаться, так что принцип Паули блокирует нейтронный бета-распад . Это устанавливает нижний придел массы стабильной нейтронной звезды. Условие, обеспечивающее стабильность нейтронов относительно бета-распада, состоит в том, что «электронное фермиевское море» должно пополняться импульсом, большим, чем максимальный импульс электрона, испущенного при нейтронном бета-распаде .

[Ферми- или Бозе-газ: В приближении идеального газа плотность числа частиц типа с импульсом, имеющим значение между и в состоянии термодинамического равновесия задается распределением Ферми или Бозе

,

(303)

где представляет собой энергию частицы, - химический потенциал. Знак является +1 для фермионов и -1 для бозонов, а - число спиновых состояний с для нейтрино и антинейтрино, для фотонов, электронов, мюонов, нуклонов и их античастиц. Химические потенциалы определяются из законов сохранения, которым должны подчиняться различные возможные реакции. С хорошим приближением можно считать, что .]

§ 2. Масса и радиус

Нейтронные звезды небольших масс во многом похожи на белые карлики с такими же массами, за исключением того, что давление вырожденного газа нейтронов уступает место давлению вырожденного электронного газа, и, таким образом, следует во всех формулах поменять на (и ). Итак, из уравнений (285) – (292) мы должны сразу сделать вывод, что нейтронная звезда малой массы будет иметь плотность выше, чем белый карлик такой же массы (и ), в раз и радиус, меньший в раз.

Есть также и большие различия. Вырожденные электроны, поддерживающие звезду в состоянии белого карлика, начинают становиться умеренно релятивистскими, когда масса становится сравнимой с массой Чандрасекхара. Однако, полная плотность энергии белого карлика всегда доминирует над плотностью массы покоя нерелятивистских нуклонов, тогда как нейтронная звезда с массой порядка массы Солнца состоит из нуклонов, кинетические энергии которых сравнимы с их массами покоя. Другое отличие состоит в том, что гравитационный потенциал белого карлика , который имеет порядок , что существенно меньше единицы. Нейтронная звезда имеет гравитационный потенциал порядка 1, и в качестве теории нейтронных звезд необходимо использовать общую теорию относительности.

Плотность полной энергии и давление идеального ферми-газа нейтронов с максимальным импульсом задаются выражениями

	(304)
,	(305)

где теперь в единицах СГС

.

(306)

Проблема нахождения уравнения состояния легко решаема только для очень низких и очень высоких плотностей.

Случай А: Для мы можем использовать аналогию с белыми карликами

И получить из уравнений (289) и (291), что

,
	(307)
;	(308)
;	(309)
.	(310)

Случай В: Для нейтроны вблизи центра звезды имеют , поэтому уравнения (304) и (305) дают

,

(311)

а поэтому

,

(312)

что и следовало ожидать для газа ультрарелятивистских частиц. Подставив это уравнение состояния в уравнение (191), мы получим

.

(313)

Удивительно, мы можем получить точное решение этого уравнения:

,

(314)

соответствующее пределу . Однако, даже в пределе бесконечно большой центральной плотности это упадет ниже при радиусе порядка км, так что уравнение состояния (312) не представляет ценности для внешних слоев любой нейтронной звезды. Уравнение для гидростатического равновесия, как мы видели в § 9А, уравнение (179), приводится в этом случае к виду

(315)

или . Итак, при любом конечном значении . Однако для такой звезды не может быть конечного значения радиуса! Таким образом, необходимо решить полную систему уравнений (191), (304) и (305). Численные решения дают в пределе при значения

,

(316)

где км, .

§ 3. Предел Оппенгеймера – Волкова

Вопрос о стабильности остался без ответа. Для чисто нейтронная звезда является просто ньютоновской политропой с и вследствие этого устойчивой. Уравнение (307) показывает нам, что является монотонно возрастающей функцией от для малых центральных плотностей. Если продолжает расти до значения , то в соответствии с Теоремой 1 переход к нестабильности не может возникнуть. Но уравнение (307) говорит также и о том, что когда , масса имеет численное значение, уже большее, чем .

Таким образом, мы ожидаем, что растет до максимального значения при некотором значении центральной плотности , имеющем порядок , и спадает до при бесконечно большой центральной плотности. Эти ожидания подтверждаются детальными расчетами

;	(317)
км.	(318)

Так как это точка, в которой обращается в ноль, а мы ожидаем перехода из стабильного состояния в нестабильное по отношению к радиальным осцилляциям, то записанные выше значения говорят нам о максимальных значениях массы и радиуса, разрешенных требованием стабильности нейтронной звезды. Это называется пределом Оппенгеймера – Волкова.

Относительное красное смещение спектральной линии, испущенной с поверхности такой нейтронной звезды,

,

(319)

так что общая теория относительности обоснованно начинает быть важной при рассмотрении наиболее массивных стабильных нейтронных звезд.

§ 4. Пульсары

Расчеты Оппенгеймера – Волкова, в которых нейтронная звезда рассматривается как чистый идеальный газ нейтронов, должны трактоваться с осторожностью, когда становится сравнимым или больше, чем . Ядерные силы могут быть очень важны. Например, различные детальные расчеты дают оценки для стабильной массы, равной , и . Даже эти модели сильно идеализированы. Реальная нейтронная звезда, как ожидается, должна иметь кристаллическую поверхность, сверхтекучую внутреннюю часть, мощные магнитные поля и часто очень большую скорость вращения.

Помня о вращении, давайте сейчас рассмотрим звездные тела, известные как пульсары, открытые Хьюишем и др. в 1967 г. Пульсары испускают радиоизлучение отдельными импульсами через временные интервалы (периоды) от 3,8 секунды (для самого медленного пульсара) до 0,033 секунды – для самого быстрого. Пульсар с периодом 0,033 с., в действительности пульсар Краб, так как он расположен в Крабовидной туманности – остатке взрыва звезды. Давайте представим, что каждый пульсар испускает луч электромагнитной радиации, направление луча жестко связано с телом звезды. Так как звезда вращается, это же делает и луч, и каждый раз, когда он «чиркает» по Земле, мы видим вспышку света. Из этой картины следует, что интервал между последовательными импульсами равен периоду вращения пульсара. Период должен быть больше, чем минимальный период вращения тела

;	(320)
	(321)

с тем, чтобы тело было устойчивым к вращению, то есть, чтобы не было разорвано на куски под действием центробежных сил. Для белых карликов плотность лежит в диапазоне от 106 до 108 г/см3. Соответствующее значение лежит между 12 секундами и 1 секундой. С другой стороны, для нейтронных звезд плотность вещества г/см3 и соответствующее значение лежит между 10-3 и 4×10-4 секунды. Эти оценки минимального периода вместе с тем фактом, что период пульсара может быть таким же низким, как 0,033 с, заставляет нас поверить, что пульсары и есть вращающиеся нейтронные звезды.

Хотя механизм пульсирующего радиоизлучения не до конца понятен, наиболее вероятным представляется то, что оно вызвано присутствием в пульсаре магнитного диполя, который не ориентирован вдоль оси вращения. Получающиеся в результате потери энергии могут быть порядка расхода вращательной энергии пульсара, и, следовательно, скорость вращения пульсара должна уменьшаться со временем. Для пульсара в Крабовидной туманности известно, что

.

(322)

Темпы потери энергии пульсаром

,

(323)

где момент инерции имеет типичное значение 1045 г. см2. С этим значением и , и наблюдаемой скоростью замедления (322), мы получаем оценку, что пульсар в Крабе имеет мощность энерговыделения (светимость) 6,38×1038 эрг/с.

Даже до открытия пульсара в Крабовидной туманности, советским астрофизиком Иосифом Самуиловичем Шкловским (см. «Сверхновые звезды», Москва, 1966) было указано, что Крабовидная туманность нуждается в инжекции («впрыскивании») в нее энергии в количестве 1038 эрг/с. Таким образом, проблема энергетического баланса разрешается, если мы признаем, что пульсар в Крабовидной туманности и есть желаемый источник энергии!

Е. ГРАВИТАЦИОННЫЙ КОЛЛАПС

Мы рассматриваем лишь самый простейший случай сферического гравитационного коллапса. Симметрия нашей задачи обеспечивает то, что геометрия вне сферы задается внешним решением Шварцшильда. Обозначим через радиус сферы. Давайте сначала рассмотрим наблюдателя на асимптотическом расстоянии от коллапсирующей звезды, так что его время . Уравнение движения частицы по поверхности коллапсирующей сферы задано в § 6, уравнение (81). Для радиального коллапса можно положить . Тогда, выражая (81) в единицах оставшейся константы с учетом начальных условий получим

,

(324)

где - радиус в момент начала коллапса, а - масса сферы. Мы видим, что , когда . Таким образом, как видит асимптотический наблюдатель, коллапс происходит непрерывно до достижения радиуса Шварцшильда или радиуса черной дыры. Решение уравнения (324) в параметрической форме

;	(325)
,	(326)

если мы измеряет от момента начала коллапса, то есть при . Понятно, что

.

(327)

Отметим, что означает , согласно уравнению (325). Следовательно, время , необходимое для сжатия сферы до радиуса Шварцшильда, для внешнего наблюдателя является бесконечным.

Теперь рассмотрим наблюдателя, движущегося совместно со сферой, то есть наблюдателя, расположенного на поверхности коллапсирующей сферы и падающего вместе с ней. Как он увидит коллапс? Пусть означает собственное время для движущегося наблюдателя, так что и поэтому

.

(328)

Относительно движущегося наблюдателя время, необходимое для уменьшения радиуса до значения

.

(329)

Исключив , используя уравнение (324), получим

	(330)
.	(331)

Используя (326), мы можем переписать это в виде

.

(332)

Отсюда видно, что при уравнение (331) дает конечное значение времени . Действительно, движущийся наблюдатель следует неотступно за коллапсом до стадии, когда сфера сожмется в точку. Соответствующее время

.

(333)

Хотя движущийся наблюдатель видит коллапс до состояния бесконечной плотности, он не может связаться с внешним миром после того, как он пересек радиус Шварцшильда или горизонт черной дыры . Почему? Рассматривая отношение гравитационного красного смещения, можно записать

,

(334)

где задает положение неподвижного наблюдателя вне коллапсирующего тела, а - собственное время приема сигналов. Таким образом, при , даже когда падающий наблюдатель регулярно посылает сигналы через конечное время . Смотри обсуждение в §А5.

Как промежуточный наблюдатель видит коллапс? Для любого промежуточного наблюдателя с собственным временным интервалом можно записать

,

(335)

где задается уравнением (324). Таким образом, когда , и промежуточный наблюдатель придет к такому же выводу, что и асимптотический наблюдатель: коллапс продолжается бесконечно долго при .

Нам следует принять во внимание тот факт, что черные дыры являются уникальными предсказаниями общей теории относительности. В ньютоновской физике коллапс не остановится ни на какой стадии, и состояние нулевого объема достигается за ограниченный отрезок времени. Ньютоновское уравнение следует из уравнения энергии . Более точно

(336)

или

,

(337)

где - ньютоновское всемирное время. Итак, ньютоновский коллапс остановится только при . Время , необходимое для этого, формально такое же, как и время движущегося вместе со сферой наблюдаЭто просто чистое совпадение!